普利姆最小生成树算法

普利姆最小生成树算法是一种常用的求解带权无向图的最小生成树的算法，它的基本思想是从图中任意选取一个顶点作为起始点，将这个点加入到最小生成树中，然后将与它相邻的边中权值最小的那条边加入到最小生成树中。接着，再将新加入的这个顶点和它相邻的边中权值最小的边加入到最小生成树中，以此类推，直到所有顶点都被加入到最小生成树中。

具体实现方法可以使用堆优化的Prim算法，时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边数，V为顶点数。

相关问题

普利姆最小生成树算法应用

### 普利姆最小生成树算法的应用场景

普利姆最小生成树算法适用于解决网络设计中的优化问题，在实际应用中有广泛用途。当面对一个加权无向连通图时，该算法能够找到连接所有节点的同时使得路径权重之和达到最小的一组边集合。

#### 应用领域

1. **城市规划**
城市间道路建设是最小生成树的一个典型例子。假设不同城市之间存在多种可能的道路铺设方案，并且每种方案都有相应的成本开销，则可以利用普利姆算法来决定最优的城市互联方式，从而降低整体基础设施投资成本[^1]。

2. **电力传输系统布局**
对于电网扩展项目而言，通过构建最小生成树模型可以帮助工程师们确定最经济有效的输电线架设路线，确保每一个变电站都能被覆盖到而不造成资源浪费[^3]。

3. **计算机通信网络组建**
在局域网或广域网的设计过程中，为了实现高效的数据交换并减少布线材料消耗，通常会采用基于MST理论的方法来进行拓扑结构的选择与配置[^4]。

#### 实际案例分析

考虑如下情景：某公司计划在其多个办公地点部署内部通讯设施。已知各办公室之间的直线距离以及安装相应长度光纤的成本费用。现在需要制定一套合理的施工策略以保证任意两处位置均能互相访问数据流，同时尽可能节省开支。

import heapq

def prim_algorithm(graph, start_vertex):
    mst = []
    visited = set([start_vertex])
    edges = [(cost, start_vertex, to) for to, cost in graph[start_vertex].items()]
    heapq.heapify(edges)

    while edges:
        (cost, frm, to) = heapq.heappop(edges)
        if to not in visited:
            visited.add(to)
            mst.append((frm, to, cost))
            
            for next_to, weight in graph[to].items():
                if next_to not in visited:
                    heapq.heappush(edges, (weight, to, next_to))

    return mst


# Example usage with a sample weighted undirected connected graph represented as adjacency list.
graph_representation = {
    'A': {'B': 7, 'D': 5},
    'B': {'A': 7, 'C': 8, 'D': 9, 'E': 7},
    'C': {'B': 8, 'E': 5},
    'D': {'A': 5, 'B': 9, 'E': 15, 'F': 6},
    'E': {'B': 7, 'C': 5, 'D': 15, 'F': 8, 'G': 9},
    'F': {'D': 6, 'E': 8, 'G': 11},
    'G': {'E': 9, 'F': 11}
}

minimum_spanning_tree = prim_algorithm(graph_representation, 'A')
print(minimum_spanning_tree)

上述Python代码实现了普利姆算法用于计算给定图形的最小生成树。在这个具体实例中，`prim_algorithm()` 函数接收两个参数：一个是表示加权无向连通图的字典形式邻接列表 `graph`；另一个是指定起始顶点名称字符串 `start_vertex`。函数返回的结果即为所求得的最小生成树边缘集合作为三元组 `(from_node, to_node, edge_weight)` 的列表。

普利姆最小生成树算法c++

普利姆最小生成树算法（Prim's algorithm）是一种用来求解无向图的最小生成树的算法，它采用的是贪心策略。该算法的基本思想是：从任意一个顶点开始，不断地将与当前最小生成树集合相邻的、且权值最小的边加入到最小生成树集合中，直至所有顶点都加入到最小生成树集合中。

以下是普利姆算法的C++代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100005;
struct Edge
{
    int u,v,w;
}e[maxn];//边 
int n,m;
int dis[maxn],vis[maxn],ans;//dis数组记录某个点到已有的最小生成树集合的距离 
vector<int> G[maxn];//邻接表 
void prim()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis=0;//从1号点开始扩展 
    priority_queue<pair<int,int> ,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > > q;//小根堆 
    q.push(make_pair(0,1));//把1号点和0放入小根堆 
    while(!q.empty())
    {
        pair<int,int> now=q.top();
        q.pop();
        if(vis[now.second]) continue;//如果这个点已经被访问过了，就跳过 
        vis[now.second]=1;//标记为已访问 
        ans+=now.first;//累加权值 
        for(int i=0;i<G[now.second].size();i++)
        {
            int v=G[now.second][i];
            if(dis[v]>e[v].w&&!vis[v])
            {
                dis[v]=e[v].w;
                q.push(make_pair(dis[v],v));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
        G[e[i].u].push_back(i);//加入邻接表 
        G[e[i].v].push_back(i);
    }
    prim();
    printf("%d",ans);
    return 0;
}