数学软件在拟合问题中的应用：lsqcurvefit 实例解析

"最小二乘法线性非线性拟合" 最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合的优化技术，其目标是找到一条曲线或曲面，使得该曲线或曲面与给定数据点之间的残差平方和最小。在 MATLAB 中，可以使用 `lsqcurvefit` 函数进行非线性数据拟合。该函数有多个输入参数，用于定制拟合过程。 1. `(1) x = lsqcurvefit('fun', x0, xdata, ydata);` 这是 `lsqcurvefit` 的基础调用形式，其中 `'fun'` 是用户定义的函数，该函数描述了数据拟合的模型，通常形式为 `F(x, xdata)`，其中 `x` 是待求的参数向量，`xdata` 是已知的自变量数据，`ydata` 是对应的因变量数据。`x0` 是初始猜测值，用于启动拟合过程。 2. `(2) x = lsqcurvefit('fun', x0, xdata, ydata, options);` 这里添加了 `options` 参数，它是一个结构体，包含了优化算法的控制选项，如最大迭代次数、终止条件等。用户可以通过 `optimoptions` 创建或修改这些选项。 3. `(3) x = lsqcurvefit('fun', x0, xdata, ydata, options, 'grad');` 如果提供了 `'grad'` 参数，它应该是 `fun` 对 `x` 的梯度函数，这有助于加速优化过程。 4-6. `(4-6)` 这些调用形式返回了额外的结果，例如 `options` 结构体、拟合函数的值 `funval` 和雅可比矩阵 `Jacob`，这些对于分析拟合质量和计算过程是有帮助的。 实验目的主要是让学生理解并掌握数学软件在数据拟合中的应用，包括基本的拟合概念、理论以及如何使用 MATLAB 实现拟合。实验内容涵盖了拟合问题的实例，如温度与电阻的关系、药物浓度随时间变化的规律，以及曲线拟合和插值的区别。 拟合的基本原理涉及寻找一个函数，使数据点到该函数的垂直距离平方和最小。在给定的例子中，如热敏电阻的温度-电阻关系，通过拟合公式 `R = at + b` 来估计在特定温度下的电阻值；而在药物浓度问题中，可能需要通过半对数坐标系来找到符合数据的指数衰减规律。 拟合与插值的主要区别在于，插值要求所构建的函数通过所有数据点，而拟合则仅要求反映数据的整体趋势，不强制通过每个点。`lsqcurvefit` 就是用来解决这类非线性拟合问题的工具。 通过 `lsqcurvefit`，用户可以根据实际需求调整参数，找到最佳拟合曲线，同时通过返回的拟合结果和残差分析拟合的质量。对于给定的数据，可以选择不同的拟合模型，比如多项式、指数、对数等，以找到最能描述数据的函数形式。