三维变换矩阵：从单位向量到坐标轴的转换详解

在第7章的三维变换部分，主要讨论了如何通过矩阵来描述和执行空间中的各种几何变换。首先，从二维变换的推广来看，三维平移和比例变换可以视为二维变换的自然延伸。平移变换涉及沿三个坐标轴(x, y, z)进行位移，其变换矩阵是一个4x4矩阵，用以表达平移量(tx, ty, tz)对空间点P(x, y, z)的影响。平移矩阵的结构清晰，易于理解。 比例变换则是对空间点的大小或方向进行调整。有两种形式：一是相对坐标原点的比例变换，其矩阵由缩放因子(sx, sy, sz)决定，点的坐标会按这些比例进行放大或缩小；二是相对于固定点的比例变换，矩阵包含了额外的偏移分量。这两种变换都是通过相似变换实现的，即保持原点不变，只改变点与原点之间的距离和方向。 然而，旋转变换是三维空间特有的复杂性所在，因为它涉及到空间中任意方向的旋转。与二维旋转不同，三维旋转变换需要指定旋转角度和旋转轴的方向。这通常通过旋转变换矩阵来实现，这种矩阵能够确保旋转的正确性和一致性，无论是在右手坐标系还是左手坐标系之间进行。 通过齐次坐标技术，所有这些三维变换都可以统一在一个4x4的矩阵表示下，使得整个变换过程变得简洁且便于计算。这样，一系列的几何变换可以被单一的矩阵操作所代替，大大提高了计算效率和表达的清晰度。这种矩阵表示方法对于计算机图形学、机械工程、物理学等领域中的坐标转换至关重要。 总结来说，该章节深入探讨了三维空间中的变换，包括平移、比例和旋转变换，以及如何用矩阵语言来精确地描述和执行这些变换，这对于理解和应用计算机图形学、机器人学、游戏开发等领域的三维建模和渲染具有核心价值。