三维空间坐标变换：旋转和平移

"三维旋转矩阵将单位向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，涉及到三维空间中的坐标变换和几何变换，包括平移、比例和旋转等基本操作。" 在三维空间中，几何变换通常用于描述物体的位置和姿态。其中，三维旋转矩阵是一个重要的工具，它用于将一个单位向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，这个变换可以是沿着x、y或z轴，也可以是任意角度的旋转。变换矩阵TR确保了即使在右手坐标系和左手坐标系之间转换，也能正确地表达坐标变换。 7.1简介部分提到，三维变换比二维变换更复杂，因为三维空间允许沿任意方向进行旋转。为了处理这些变换，我们使用齐次坐标，这使得一系列变换可以用一个4x4的变换矩阵来表示，简化了计算过程。 7.2三维几何变换中，介绍了两种基本的几何变换： 1. 平移变换：当空间中的平移量为(tx, ty, tz)时，平移变换矩阵由4x4单位矩阵加上一个3x1平移向量构成。平移变换不仅适用于点，也适用于物体和多面体的整体移动，并且其逆变换可以直接通过负向平移量得到。 2. 比例变换：分为两种情况，一是相对于坐标原点的比例变换，此时变换矩阵的对角线元素为缩放因子s；二是相对于固定点(xf, yf, zf)的比例变换，此时需要先平移到固定点，再进行比例变换，最后再平移回来。 7.2.3绕坐标轴的旋转变换是三维变换的另一关键部分，这里未给出详细内容，但在三维空间中，旋转通常涉及绕x、y、z轴的欧拉角旋转，或者使用四元数、轴角表示法。旋转矩阵遵循特定的矩阵乘法规则，如右乘或左乘，以保持向量的方向。旋转可以单独进行，也可以组合应用，以实现复杂的三维旋转效果。 总结来说，三维旋转矩阵是三维空间中表示坐标变换的关键工具，它涵盖了平移、比例以及绕坐标轴的旋转等基本几何变换。在实际应用中，这些变换常用于图形学、机器人学、航空学等领域，以描述和控制物体在三维空间中的运动和位置。理解并熟练掌握这些变换对于进行精确的三维空间计算至关重要。