已知三维空间中两不平行的向量a，b，求旋转矩阵R使得向量a经过旋转后与向量b平行

假设向量a和向量b的长度均为1，且它们不平行。首先，可以通过叉积求出一个向量c，它垂直于a和b。即：

c = a × b

然后，可以将向量c归一化得到一个单位向量k：

k = c / ||c||

接下来，可以通过求解旋转轴和旋转角度来构造旋转矩阵。旋转轴是向量k，旋转角度可以通过向量a和向量b之间的夹角计算得到。假设这个夹角为θ，则旋转矩阵R的表达式为：

R = cosθ I + (1 - cosθ) kk^T + sinθ K

其中，I是单位矩阵，k是单位向量k，kk^T是外积，K是反对称矩阵，其定义为：

K = \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix}

其中，k_x、k_y、k_z分别是向量k的三个分量。

相关问题

已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么求旋转矩阵

设原向量为v，旋转后的向量为v'，旋转矩阵为R，那么有：

v' = Rv

两边同乘R的逆矩阵R^-1：

R^-1v' = R^-1(Rv)

化简得：

R^-1v' = v

此时，我们已经得到了旋转前的向量v，以及旋转后的向量v'，可以通过求解线性方程组来求解旋转矩阵R，具体方法可以使用高斯消元法等求解线性方程组的方法来求解。

已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么推导旋转矩阵

假设原始向量为 $v$，旋转后的向量为 $v'$，旋转矩阵为 $R$，则有：

$$v' = Rv$$

我们将 $v$ 和 $v'$ 展开成列向量的形式：

$$v=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad v'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}$$

则有：

$$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\r_{21} & r_{22} & r_{23}\\r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$$

展开后可得：

$$\begin{cases}x' = r_{11}x + r_{12}y + r_{13}z\\y' = r_{21}x + r_{22}y + r_{23}z\\z' = r_{31}x + r_{32}y + r_{33}z\end{cases}$$

我们已知 $v$ 和 $v'$，可以将它们代入上式，得到一个含有 $9$ 个未知数 $r_{ij}$ 的线性方程组，对其进行求解即可得到旋转矩阵 $R$。

需要注意的是，求解出来的矩阵 $R$ 不一定是唯一的，因为在三维空间中存在很多种不同的旋转方式。