已知一个三维向量矩阵和变换后矩阵的z向量，求变换最小的矩阵

根据题意，我们可以将原始的三维向量矩阵表示为 $M=[v_1,v_2,v_3]$，其中 $v_i$ 表示第 $i$ 个向量。

设变换矩阵为 $T$，则对于每个向量 $v_i$，有 $T \cdot v_i = w_i$，其中 $w_i$ 表示变换后的向量。

我们已知变换后矩阵的 $z$ 向量，设其为 $w_z$。则有 $w_z = T \cdot v_z$，其中 $v_z$ 表示原始矩阵中的 $z$ 向量。

现在的问题是求最小的变换矩阵 $T$。如果我们只考虑平移和旋转变换，可以使用 SVD 分解来求解。具体地，我们可以将 $M$ 和 $w_z$ 合并为一个 $3 \times 4$ 的矩阵 $A=[M,w_z]$，然后对 $A$ 进行 SVD 分解：$A = U \cdot S \cdot V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$S$ 是对角矩阵。

则有 $T=U \cdot V^T$。这个 $T$ 表示的是旋转变换和缩放变换，不包括平移变换。我们可以通过 $w_z - T \cdot v_z$ 得到平移向量，将其加到 $T$ 的最后一列，得到完整的变换矩阵。

需要注意的是，如果变换矩阵 $T$ 还包括剪切变换等其他变换，就不能使用上述方法求解，需要使用更复杂的方法。

相关问题

已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么推导旋转矩阵

假设原始向量为 $v$，旋转后的向量为 $v'$，旋转矩阵为 $R$，则有：

$$v' = Rv$$

我们将 $v$ 和 $v'$ 展开成列向量的形式：

$$v=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad v'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}$$

则有：

$$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\r_{21} & r_{22} & r_{23}\\r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$$

展开后可得：

$$\begin{cases}x' = r_{11}x + r_{12}y + r_{13}z\\y' = r_{21}x + r_{22}y + r_{23}z\\z' = r_{31}x + r_{32}y + r_{33}z\end{cases}$$

我们已知 $v$ 和 $v'$，可以将它们代入上式，得到一个含有 $9$ 个未知数 $r_{ij}$ 的线性方程组，对其进行求解即可得到旋转矩阵 $R$。

需要注意的是，求解出来的矩阵 $R$ 不一定是唯一的，因为在三维空间中存在很多种不同的旋转方式。

已知三维空间中两不平行的向量a，b，求旋转矩阵R使得向量a经过旋转后与向量b平行

假设向量a和向量b的长度均为1，且它们不平行。首先，可以通过叉积求出一个向量c，它垂直于a和b。即：

c = a × b

然后，可以将向量c归一化得到一个单位向量k：

k = c / ||c||

接下来，可以通过求解旋转轴和旋转角度来构造旋转矩阵。旋转轴是向量k，旋转角度可以通过向量a和向量b之间的夹角计算得到。假设这个夹角为θ，则旋转矩阵R的表达式为：

R = cosθ I + (1 - cosθ) kk^T + sinθ K

其中，I是单位矩阵，k是单位向量k，kk^T是外积，K是反对称矩阵，其定义为：

K = \begin{bmatrix} 0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix}

其中，k_x、k_y、k_z分别是向量k的三个分量。