已知点的坐标和投影矩阵，怎么求目的坐标

如果你已知一个点在三维空间中的坐标和它的投影矩阵，那么你可以通过以下步骤来计算出它在二维平面上的投影坐标：

1. 将三维点坐标表示为一个列向量 $\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix}$，其中最后一个元素为1。
2. 将投影矩阵乘以该列向量，得到一个四维列向量 $\begin{bmatrix}u \\ v \\ w \\ t\end{bmatrix}$。其中 $u$、$v$ 和 $w$ 分别表示投影后的二维坐标和一个缩放因子（通常为非零数），$t$ 表示变换后的坐标系中的位置。
3. 将 $u$、$v$ 和 $w$ 分别除以 $t$，得到二维投影坐标：$\begin{bmatrix}u/t \\ v/t\end{bmatrix}$。

这样，你就可以得到该点在二维平面上的投影坐标。需要注意的是，如果 $t=0$，则该点无法进行投影，因为此时矩阵乘法将会出现除以0的情况。

相关问题

Python已知点的坐标和投影矩阵，怎么求目的坐标

如果已知点的坐标和投影矩阵，可以使用以下步骤求目标坐标：

1. 将点坐标转换为齐次坐标，即添加一个维度为1的分量。例如，对于三维点(x, y, z)，转换为四维齐次坐标(x, y, z, 1)。

2. 将齐次坐标乘以投影矩阵，得到一个新的齐次坐标。这个新的齐次坐标的前三个分量就是目标坐标的x、y、z坐标，最后一个分量是缩放因子。

3. 将新的齐次坐标除以缩放因子，得到目标坐标。

具体的代码实现如下：

import numpy as np

# 已知点的坐标
point = np.array([x, y, z, 1])

# 投影矩阵
projection_matrix = np.array([...])

# 将点坐标转换为齐次坐标
homogeneous_point = np.array([x, y, z, 1])

# 将齐次坐标乘以投影矩阵
new_homogeneous_point = np.dot(projection_matrix, homogeneous_point)

# 目标坐标的x、y、z分量
x_target, y_target, z_target = new_homogeneous_point[:3]

# 缩放因子
scale_factor = new_homogeneous_point[3]

# 将新的齐次坐标除以缩放因子，得到目标坐标
target_point = np.array([x_target / scale_factor, y_target / scale_factor, z_target / scale_factor])

左右图像两点坐标已知，求对应三维坐标C++

要求对应三维坐标，需要知道相机的内参和外参。假设相机的内参已知，外参包括相机的旋转矩阵和平移向量，可以使用三角测量的方法求出对应的三维坐标。

具体的求解过程如下：

1. 根据相机的内参将图像坐标归一化为相机坐标系下的坐标。

2. 根据相机的旋转矩阵和平移向量将相机坐标系下的坐标转换为世界坐标系下的坐标。

3. 对左右两个相机拍摄的图像中的对应点进行三角测量，得到对应的三维坐标。

以下是一个简单的 C++ 代码实现：

#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace cv;

// 相机内参
Mat K = (Mat_<double>(3, 3) << fx, 0, cx, 0, fy, cy, 0, 0, 1);

// 相机旋转矩阵和平移向量
Mat R = ...;
Mat t = ...;

// 左右图像中的对应点坐标
Point2f p_l = ...;
Point2f p_r = ...;

// 将图像坐标归一化为相机坐标系下的坐标
Mat p_l_norm = (Mat_<double>(3, 1) << (p_l.x - cx) / fx, (p_l.y - cy) / fy, 1);
Mat p_r_norm = (Mat_<double>(3, 1) << (p_r.x - cx) / fx, (p_r.y - cy) / fy, 1);

// 将相机坐标系下的坐标转换为世界坐标系下的坐标
Mat p_l_world = R.inv() * (p_l_norm - t);
Mat p_r_world = R.inv() * (p_r_norm - t);

// 三角测量求解对应的三维坐标
Mat p_3d;
triangulatePoints(P_l, P_r, p_l_norm, p_r_norm, p_3d);

// 对应的三维坐标
Point3f point3d(p_3d.at<double>(0, 0) / p_3d.at<double>(3, 0),
                p_3d.at<double>(1, 0) / p_3d.at<double>(3, 0),
                p_3d.at<double>(2, 0) / p_3d.at<double>(3, 0));

其中，`fx`、`fy`、`cx`、`cy`分别表示相机的焦距和主点坐标，`P_l`、`P_r`分别表示左右相机的投影矩阵。需要注意的是，当相机的畸变参数不为零时，需要对图像坐标进行去畸变处理。