对于世界坐标系下表示的三维空间点P，其在正交投影下的像点坐标是多少？其在透视投影下的像点坐标是多少？

在正交投影下，点P在图像平面上的像点坐标可以直接用点P在世界坐标系下的坐标进行表示，即(x,y,z) -> (x,y)。

在透视投影下，点P在图像平面上的像点坐标需要通过投影矩阵进行计算。假设相机内参已知，投影矩阵可以表示为:

P = K[R|t]

其中，K是相机内参矩阵，R和t是相机外参矩阵，[R|t]是将R和t组合成一个4×4的矩阵。点P在世界坐标系下的坐标表示为(X,Y,Z,1)，则其在图像平面上的像点坐标为：

(x,y,w) = P(X,Y,Z,1) = K[R|t](X,Y,Z,1)

其中，w是一个缩放因子，通常需要将其归一化为1，即：

x' = x / w
y' = y / w

最终得到的像点坐标为(x',y')。

相关问题

如下图所示，在观察坐标系Ovxvyvzv和屏幕坐标系Osxsyszs中，xvOvyv面与xsOsys面平行，而zv轴与zs轴同向。设视点Ov与视心Os之间的视距d为20。另外，世界坐标系Owxwywzw与观察者坐标系Ovxvyvzv之间的坐标转换关系如式(1)所示。 (1) 设三维空间中点P在世界坐标系中的坐标为PW(-40, 60, 40)，请求解下列问题： (1) 计算空间点P在观察者坐标系下的坐标Pv(xv,yv,zv)； (2) 计算空间点P在屏幕平面xsOsys上的正交投影点ps0的坐标(xs0,ys0)； (3) 计算空间点P在屏幕平面xsOsys上的透视投影点ps1的坐标(xs1,ys1)； (4) 若观察空间中的近剪切面与视点Ov的距离Near为20，远剪切面与视点Ov的距离Far为220，请计算透视投影点ps1的伪透视深度Zs1.

(1) 首先将点P在世界坐标系下的坐标转换为观察者坐标系下的坐标，根据式(1)：

| xv |   | -0.7071  0.0000 -0.7071  0 |   | -40 |
| yv | = |  0.3536  0.8660 -0.3536  0 | * |  60 |
| zv |   |  0.6124 -0.5000 -0.6124 20 |   |  40 |
| 1  |   |  0.0000  0.0000  0.0000  1 |   |   1 |

计算得到P在观察者坐标系下的坐标为Pv(-48.8904, 85.1044, -51.0788)。

(2) 点P在屏幕平面xsOsys上的正交投影点ps0，其z坐标等于Pv的z坐标，即zs0 = -51.0788。由于xvOvyv面与xsOsys面平行，因此ps0的x坐标等于Pv的x坐标，即xs0 = -48.8904。同理，ys0 = 85.1044。

(3) 点P在屏幕平面xsOsys上的透视投影点ps1，需要先将Pv转换为齐次裁剪坐标系下的坐标，再通过透视除法计算得到ps1的坐标。将Pv转换为齐次裁剪坐标系下的坐标，可使用以下矩阵：

| -d/zv  0     0      0     |
|  0     -d/zv  0      0     |
|  0     0     -f/(f-n) -fn/(f-n) |
|  0     0     -1      0     |

其中d为视距，f为远剪切面与视点Ov的距离，n为近剪切面与视点Ov的距离。代入Pv的值可得：

| xw |   | -20.0000  0.0000  0.0000  0.0000 |   | -48.8904 |
| yw | = |  0.0000 -20.0000  0.0000  0.0000 | * |  85.1044 |
| zw |   |  0.0000  0.0000 -1.0000 -20.5394 |   | -51.0788 |
|  w |   |  0.0000  0.0000  0.0000  1.0000 |   |   1      |

再进行透视除法：

| xs |   | -26.8015  0.0000  0.0000  0.0000 |   | -48.8904 |
| ys | = |  0.0000 -44.0683  0.0000  0.0000 | * |  85.1044 |
| zs |   |  0.0000  0.0000 -0.9789 -0.9806 |   | -51.0788 |
|  w |   |  0.0000  0.0000 -1.0000  0.0000 |   |   1      |

得到ps1的坐标为(xs1, ys1, zs1) = (-26.8015, -44.0683, -0.9806)。

(4) 透视投影点ps1的伪透视深度Zs1可以通过以下公式计算：

Zs1 = (Far + Near - 2 * f * n / (Far - Near)) / (2 * f * n / (Far - Near) - zs1)

代入题目中的数据，可得：

Zs1 = (220 + 20 - 2 * 220 * 20 / (220 - 20)) / (2 * 220 * 20 / (220 - 20) - (-0.9806)) = 202.8687

因此透视投影点ps1的伪透视深度为Zs1 = 202.8687。

在计算机图形学中，将三维物体转换为二维图形的过程一般分为三个步骤：模型变换、视图变换和投影变换。 模型变换：将三维物体从模型坐标系变换到世界坐标系。在这个过程中，可以对物体进行平移、旋转、缩放等变换操作，以便更好地展示物体。 视图变换：将物体从世界坐标系变换到观察坐标系。在这个过程中，可以定义观察者的位置、朝向和视场等参数，以便从不同角度观察物体。 投影变换：将物体从观察坐标系变换到投影坐标系。在这个过程中，可以将物体投影到一个平面上，从而得到二维图形。投影方式常见的有正交投影和透视投影两种。 正交投影是指将物体投影到一个平行于观察平面的平面上，得到的图形具有等比例性质，即物体在投影平面上的大小和在三维空间中的大小相同。透视投影则是将物体投影到一个和观察平面不平行的平面上，得到的图形具有远近关系，即物体在投影平面上的大小会随着距离观察点的远近而变化。 总之，三维物体转换为二维图形的过程需要经过多次变换，并且不同的投影方式会产生不同的效果。

非常正确！三维物体转换为二维图形的过程是计算机图形学中非常重要的一部分，也是实现虚拟现实、游戏等应用的基础。通过模型变换、视图变换和投影变换，我们可以将三维物体转换为二维图形，并在屏幕上显示出来。在实际应用中，不同的场景需要不同的投影方式，比如建筑设计常使用正交投影，而游戏和电影则更多地使用透视投影来呈现更加生动的场景。