SVM推导详解：最大化间隔与对偶问题关键

SVM (支持向量机) 是一种强大的二分类模型，其核心思想是通过寻找一个在特征空间中最大化分类间隔的决策边界。SVM的基本模型基于线性分类，理想情况下会选择一个使得正负样本点到该超平面的距离之和最大化，这区别于感知机的简单线性分类方式。 1. **间隔概念**： SVM引入了函数间隔和几何间隔的概念。函数间隔是指样本点到分类器的错误边界的距离，而几何间隔则是样本点到最近分类器边界的距离。SVM的目标是最大化间隔，以提高预测的稳定性和准确性。 2. **对偶问题与优化**： SVM的原始问题是凸二次规划问题，不易直接求解。为此，引入对偶问题，这是一个更易于处理的形式。对偶问题的求解允许使用核技巧，从而扩展到非线性分类。通过对偶问题，目标变为最小化某个函数，等价于最大化间隔。具体而言，我们有拉格朗日乘数法，通过最大化核函数对应的内积，简化为求解一组变量的最优解。 3. **分离超平面的存在性和唯一性**： 对于线性可分的数据集，存在一个能够将所有样本完美分开的超平面，且这个超平面是唯一的。存在性通过假设存在可行解并分析其性质得出，而唯一性则通过假设存在两个不同的最优解进行反证，证明了最优解的唯一性。 4. **W,b的求解**： 支持向量机中的参数W和b可以通过求解对偶问题得到。支持向量是那些使得间隔达到最大化的样本点，它们的特征决定了分类器的形状。在非线性情况下，核函数将低维特征映射到高维空间，使得分类变得可能。 5. **SMO算法**： Sequential Minimal Optimization (SMO) 是一种高效的局部搜索算法，用于求解大规模线性或非线性SVM的对偶问题。SMO的关键在于每次只关注两个变量，通过构造局部的二次规划问题，然后解析求解，迭代优化，直到找到全局最优解。在每次迭代中，它检查是否满足一定的精度要求，如果不满足则继续选择下一个变量对。 SVM的推导过程涉及对分类间隔的理解、对偶问题的转换、以及如何通过SMO算法高效地求解模型参数。这些步骤展示了SVM的强大之处，不仅限于线性分类，还能通过核函数处理复杂的非线性问题，同时保证了解的优化性和计算效率。