"第六章动态规划法\n1\n2\n3\n4\n概述\n图问题中的动态规划法\n组合问题中的动态规划法\n5\n查找问题中的动态规划法\n小结\n海盗分钻石问题\n动态规划历史及应用\n概述——多阶段决策过程"
动态规划是一种解决复杂问题的有效方法,尤其适用于多阶段决策过程中的优化问题。这种方法最早由20世纪50年代的数学家Richard Bellman提出,用于处理多阶段决策过程的最优化。动态规划的核心思想是将一个问题分解成多个相互关联的子问题,并通过建立模型来确定最优解。
在组合问题中,动态规划常常用来解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。以最长递增子序列问题为例,给定一个序列A,目标是找到一个尽可能长的子序列,使得这个子序列中的元素严格递增。这个问题可以通过动态规划来解决,定义一个数组dp,其中dp[i]表示以元素ai结尾的最长递增子序列的长度。通过遍历序列A,我们可以更新dp数组,确保在任何时候都选择了当前最优的子序列长度。
动态规划方法的关键在于状态转移方程的建立。对于最长递增子序列问题,状态转移方程可以表示为:dp[i] = max(dp[j]) + 1,其中j < i且aj < ai。这意味着我们遍历序列,对于每个元素ai,我们检查之前的所有元素aj,如果aj小于ai,我们就更新dp[i]的值。最终,dp数组中的最大值即为原序列的最长递增子序列长度。
除了最长递增子序列问题,动态规划还可应用于许多其他领域,如最短路径问题(如Dijkstra算法)、背包问题(0/1背包、完全背包等)、矩阵链乘法、编辑距离等。这些问题的共同点是它们都可以通过定义状态、状态转移方程和边界条件来构建动态规划模型。
在海盗分钻石问题中,动态规划同样可以发挥作用。这个问题涉及到五个贪婪而聪明的海盗,他们需要公平地分配一百颗钻石。每个海盗根据编号顺序提出分配方案,如果超过半数的海盗同意方案,方案则通过;否则,提出方案的海盗会被淘汰。动态规划可以用来确定每个海盗如何提出方案以最大化自己的利益。
动态规划提供了一种系统化解决最优化问题的框架,它不仅适用于时间相关的动态过程,还可以通过引入时间因素来解决静态规划问题。这种方法在经济、工程、计算机科学等多个领域都有广泛应用,因其能够高效地找到全局最优解而备受青睐。