东北大学解线性方程组直接方法解析：Gauss消去法

"东北大学的计算数学教研室在2017年12月13日讲解了关于解线性方程组的直接方法，主要包括追赶法、向量和矩阵的范数以及Gauss消去法。课程内容涉及到线性方程组在工程技术、自然科学和社会科学中的广泛应用，并重点讨论了顺序Gauss消去法，这是一种将线性方程组转化为上三角形方程组以求解的方法。" 线性方程组是数学和各个工程领域中的基础问题，特别是在解决实际问题时，如最小二乘法曲线拟合、三次样条函数插值、经济投入产出分析和各种设计计算问题。直接方法是求解线性方程组的一种策略，它旨在通过有限次的算术运算得到方程组的精确解，尽管在实际计算中由于舍入误差通常只能得到近似解。 顺序Gauss消去法是直接方法的一个典型例子，它是通过对矩阵进行一系列行操作（加法和标量乘法）来实现的，目标是将原始的线性方程组转化为上三角形形式，使得后续求解变得简单。这种方法的基本步骤包括： 1. **初等行变换**：通过行交换、行乘以非零常数以及行加成来简化矩阵。例如，如果矩阵的第一行元素非零，可以通过行变换使首元素成为1，这样可以简化后续的计算。 2. **逐列消元**：在每一列中，逐步消除下一行的非主元素，使其变为0。这通常涉及将某一行乘以适当的常数后加到另一行上。 3. **上三角化**：经过上述操作，原矩阵被转换成上三角形矩阵，即主对角线以下的元素全为0。此时，从右到左，从下到上可以通过回代求解每一个未知数。 4. **解求**：一旦矩阵变成上三角形，可以直接通过回代法求解每个未知数，即从最后一个未知数开始，根据上三角形方程组的性质依次解出所有变量。 在实际应用中，虽然Gauss消去法直观且易于理解，但其稳定性并不理想，尤其是在处理大型矩阵时，可能因为数值不稳定导致较大误差。为了改善这一点，通常会采用改进版的Gauss消去法，如部分Pivot或完全Pivot的Gauss消去法，这些方法在消元过程中引入了 pivot（主元），以提高数值稳定性。 解线性方程组的直接方法是数值分析中的核心内容，对于理解和解决实际问题至关重要。Gauss消去法作为直接方法的经典实例，不仅理论性强，而且在实际计算中具有广泛的应用。然而，必须注意舍入误差的影响，并适当选择稳定的技术来提高计算精度。