数字信号处理：采样与混叠分析

"该文档是《数字信号处理基础》一书的习题答案，内容涵盖了关于数字信号处理的一些关键概念和计算，包括采样频率、奈奎斯特采样定理、混叠现象以及频谱搬移等核心知识点。" 在数字信号处理中，采样频率是一个至关重要的参数，它决定了我们如何将连续时间信号转换为离散时间信号。根据奈奎斯特采样定理，为了无失真地重构一个最高频率为fmax的信号，采样频率fs至少应为2fmax。例如，对于一个最大频率为20rad/sec（约3.18Hz）的信号，其奈奎斯特采样频率为6.37Hz。在案例(b)中，信号的最大频率为833.3Hz，对应的奈奎斯特采样频率是1666.7Hz；而在案例(c)中，最大频率为214.3Hz，奈奎斯特采样频率则为428.6Hz。 当采样频率低于奈奎斯特频率时，会出现混叠现象，即高频成分会“混入”低频成分中，导致信号失真。在问题(b)的解释中，采样频率过低，混叠现象明显，而问题(a)中的采样频率满足奈奎斯特定理，因此没有混叠发生。 频谱搬移是由于采样过程引起的，信号的频谱会在每个采样频率的整数倍处被复制，即kfS±f，其中k是整数。若采样不满足奈奎斯特条件，频谱的副本可能会落在原始信号的频带内，导致信号失真。例如，一个300Hz的信号在不同位置的频谱搬移会出现在–1300, –700, 300, 700, 1300, 1700, 和2300 Hz等位置，但只有300Hz落在恢复范围内，因此没有混叠发生。 此外，对于带宽受限的信号，如蜂窝通信中的信号，其传输带宽为30kHz。为了正确传输这类信号，采样频率至少应为60kHz，这可以通过一个截止频率为30kHz的滤波器来实现，以避免带外噪声的引入。 这份文档提供了数字信号处理基础的实例解析，帮助读者理解并掌握采样理论、奈奎斯特定理、混叠现象以及频谱搬移等关键概念，是学习数字信号处理的重要参考资料。