构造与分析：周期$p^r-1$序列的深度、终归周期及其分布

"这篇论文深入探讨了深度、终归周期以及周期为$p^r-1$的序列在有限域上的分布特性。作者曾敏和骆源来自上海交通大学计算机科学与工程系，他们利用无限深度的向量$s \in F^n_q$以及循环左移差分算子$E-\mathbf{1}$，构建了一类新的终归周期序列{(E-1)$^i$(s)}$_{i\geq0}$，并对其终归周期进行了边界分析，提出计算最小终归周期的公式。此外，文章还阐述了在有限域上n维向量空间中，关于这类序列最小终归周期的分布情况。关键词包括深度、差分、分布和终归周期序列。" 这篇学术论文主要关注的是有限域上的序列理论，特别是周期为$p^r-1$的序列的特性和分布。首先，文章介绍了“深度”这一概念，这是对序列性质的一种度量，通常指序列中元素变化的复杂性或多样性。在本研究中，作者探讨了具有无限深度的向量，这些向量在有限域$F_q$中的长度为$n$，相当于具有周期为$n$的序列。 接下来，作者引入了循环左移差分算子$E-\mathbf{1}$，这是一种在序列上操作的线性算子，它将序列中的每个元素向左移动一位并减去自身，从而产生一个新的序列。通过对这个算子作用于初始向量$s$的无限次迭代，构造了一类新的序列{(E-1)$^i$(s)}$_{i\geq0}$，这些序列被称为终归周期序列，因为它们最终会进入一个重复模式，即具有有限的终归周期。 文章的核心贡献在于对这类序列的终归周期进行了分析。作者提供了几个关于这些序列的终归周期的上界，并且提出了一个方法来确定它们的最小终归周期。这对于理解和预测序列的行为至关重要，特别是在密码学、编码理论和信息处理等应用中。 此外，论文还涉及到了这些序列在有限域上n维向量空间的分布情况。通过研究这些序列的最小终归周期，作者能够描述当序列的周期为$p^r-1$（其中$r > 0$）时，不同向量的空间分布特征。这有助于揭示序列结构的规律性和复杂性，对于理解和设计高效的数据处理算法具有重要意义。 这篇论文为有限域上的序列理论和应用提供了新的见解，特别是在理解周期为$p^r-1$序列的深度、差分性质及其分布方面。其研究成果可能对密码学、通信和数据压缩等领域产生积极的影响。