"陶文全的《计算流体力学与传热学》中讲解了随机增量式算法在计算几何中的应用,特别是在构建梯形图和点定位查询方面。该算法用于处理一般位置的线段集合,构建对应的梯形图T(S)并建立查找结构D,该结构是一个有向无环图(DAG),支持点定位查询。查找结构由根节点、内部节点(x-节点和y-节点)和对应梯形的叶子节点组成。在查询过程中,从根节点开始,通过比较节点与查询点的位置关系决定路径走向。"
在计算几何中,随机增量式算法是一种有效的构建数据结构和解决点定位问题的方法。在陶文全的书中,这个算法被用来构造梯形图T(S)以表示一组处于一般性位置的线段S。梯形图是由线段的交点和端点形成的四边形,用于表示线段之间的相对关系。为了支持点定位查询,算法同时构建了一个查找结构D,这是一个有向无环图,包含一个根节点和对应梯形图中每个梯形的叶子节点。
查找结构中的内部节点分为两种类型:x-节点和y-节点。x-节点代表线段的端点,而y-节点代表线段本身。在查询点q的定位过程中,从根节点开始,沿着有向边根据x-节点或y-节点与q的相对位置(如左侧、右侧、上方、下方)来决定前进方向。这种方法保证了查询路径最终指向包含q的梯形的叶子节点。
虽然这里假设线段集合满足一般性位置条件,即线段之间无自交和重合,但在实际应用中可能会遇到退化情况,比如线段相交或重合。第6.3节专门讨论了如何处理这些问题,包括退化情况下的点定位和不满足一般性位置假设的线段集。
随机增量式算法的优势在于它能够逐步构建复杂的数据结构,并在构建过程中解决相关的查询问题,而无需事先完全了解整个输入集。这种方法在处理大规模数据和实时查询时特别有用,因为它允许动态地增加输入元素并即时更新数据结构。
随机增量式算法是计算几何中一个强大的工具,尤其在构建复杂几何结构和执行高效查询时。通过理解这个算法的工作原理,我们可以更好地设计和实现用于计算流体力学、传热学以及其他领域中涉及线段和点操作的问题。