随机过程讲稿：一步转移概率与随机游动解析

"随机过程在概率论中的概念及应用，包括随机过程的定义、描述方法、状态空间以及随机游动的实例分析，特别提到了一步转移概率和随机游动在一维情况下的性质。" 随机过程是概率论中的一个重要概念，它是由一族相互关联的随机变量构成的集合，通常用来描述随时间变化的随机现象。在定义中，随机过程是定义在一个概率空间上的、与时间参数相关的随机变量族。这个时间参数可以是实数集的一个子集，如整数集合或实数集合，它代表了时间轴的不同刻度。 随机过程有两种主要的描述方式：一是通过映射表示，即将随机过程看作是定义在概率空间和时间参数上的函数；二是通过样本函数表示，即固定时间参数后，随机过程表现为一个随机变量，而固定样本点后，它是一个关于时间的函数。 随机过程的状态空间S包含了所有可能取值的状态，这些状态可以是实数、复数甚至更抽象的数学对象。例如，当考虑抛掷硬币的随机过程时，状态空间可能只有两个元素，分别对应正面（H）和反面（T）。 在给定的描述中，还提到了一步转移概率，这是一个在马尔科夫链中的概念，指的是系统从一个状态转移到另一个状态的概率。在马尔科夫链中，这种转移仅依赖于当前状态，而不依赖于过去的历史状态。例子中提到的一维随机游动，其状态空间是{-1, 0, 1, 2,...}，每个状态之间的转移概率满足特定的条件，例如从状态i转移到状态i+1和i-1的概率分别为1/2。 此外，讨论了随机过程的期望值计算，比如记录到最大值的首达时间的期望值。在随机游动的例子中，当状态空间是一维线性结构时，所有状态都是相通的，可以从一个状态转移到任何其他状态。随机游动在一维情况下的性质表明，它具有一定的对称性和可预测性。 随机过程在众多领域都有应用，包括物理学、工程学、经济学、生物学等，是理解和建模复杂动态系统的有力工具。通过深入学习随机过程，我们可以更好地理解和预测各种自然和社会现象中的随机行为。