142
诉达诺斯岛
Garnier/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319
（
2015
）
137
2.2
拓扑空间的投影极限
我们的许多定理将处理作为拓扑空间的
投影极限
（也称为
逆极限
或
滤极限
）得到的
空间这些拓扑投射极限被定义为集合和函数的通常范畴Set中投射极限的充分拓扑
设（I
，
≤
）是一个被看作范畴的有向偏序集，D： I
op
→Set
是一个滤集图。D
的投影极限是D上的一个终锥（
lim
D
，
π
i
），其中
lim
D是
lim
D
{
x
|
D
（
i
≤
j
）（
π
j
（
x
））
=
π
i
（
x
）
}<$
D
（
i
）
我
π
i
：
j
D
（
j
）
→
D（i）是正则投影。注意，D是从
I
到
Set
的反
transvariant
。正如定
义中所强调的，limD是包含所有元素序列的卡积
i
D（i）的子集，这些元素序列遵守
图D所施加的约束。limD的元素称为
线程
，映射D（i≤
j
）
：
D
（
j
）
→D（i）是
键
映射
。当然，limD可以是空的（参见[34]中的一个简短例子）。保证极限非空的一
个充分条件是考虑函子D，其中
I
是可数的，并且键映射是满射的[6]。为了方便起
见，我们将这些键合映射记为
π
ij
D（i
≤
j
），
并将可数的滤满图ccd简称为
ccd
。
写作
U
：
Top
→
Set
作为基本的集函子，图
D
：
I
op
→
Top
在
Top
中的滤除极限
通过赋予
U D
的Set极限以典范投影
{
π
i
}
i
∈
I
的初始拓扑而得到
。 以下有用的
附加事
实通过考虑lim D作为iD（i）的（闭）子集
的交集而 得出， 对于所有 对（
i
，
j
）
s. t
，满足
D
（
i
≤
j
）（
π
j
（
x
））
= π
i
（
x
）。
i
≤
j
。
引理2.4
（
[11]
，
Ch. 1
，
§
8.2
，
Corollaire 2
）
lim D
是
i
D
（
i
）的闭子集
。
2.3
Bochner
扩张定理
给定一个相容的有限维边缘系统的随机过程的构造是概率论中的一个重要工具，一
个经典的例子是使用Kolmogorov
扩张
定理构造布朗运动[25]。除了Kolmogorov它们
在考虑概率的空间（可测空间、拓扑空间或向量空间）的结构数量上有所不同。
– and we will make crucial use of the Bochner extension theorem for Polish
定理
2.5
对于
P
中的任意一个
ccd
，
G
（
lim
D
）
n
=
lim
G
<$
D
。
bc
n
：
lim
G
D
→
G
（
lim D
）
这个同胚
.
换句话说，
Bochner
扩张定理指出，满足图约束（
limG
D的元素）的概率的任何
投影族可以唯一地提升到极限空间（G（
lim
D）的元素）上的概率
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