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狄利克雷过程在理论计算机科学中的高阶概率应用
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更新于2024-06-18
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"这篇学术论文探讨了高阶概率家族中的Dirichlet自然结构在理论计算机科学中的应用,特别是在非参数贝叶斯学习中的角色。作者Vincent Danos和Ilias Garnier分别来自法国巴黎和英国爱丁堡大学的信息学院。他们致力于通过波兰空间X上的Dirichlet过程来构建一个高阶概率族,该族被广泛应用于处理不确定性和概率估计的场景。 文章的核心是建立一个基于波兰空间X的高阶概率族DX,其索引为X上的非零有限测度集M(X)。这一结构的构建分为两部分:一是开发一种方法,将零维波兰空间X映射到有限近似的投影系统,以逼近X的零维分解;二是利用Bochner积分的函子版本和有限空间上Dirichlet过程的已知组合性质,将这两种成分结合起来,形成DX族。作者证明了DX族是一个自然变换,参数连续,这改进了现有结构。 论文中还讨论了马尔可夫系统的互模拟概念,指出在实际应用中,马尔可夫链的转移概率往往只能估计,而非精确知道,这引入了不确定性。作者提出了使用互模拟度量的概念,作为一种更为稳健的比较方法,尤其是对于处理基于度量的近似等价性问题。这种思路有可能为定义时间逻辑公式的满足提供新的视角。 这篇论文深入研究了概率理论、拓扑学、范畴论和单子在理论计算机科学中的应用,特别是在处理不确定性和模拟问题时的高级概率结构。通过引入和分析Dirichlet过程,它为非参数贝叶斯学习提供了新的理论工具,并对计算模型的比较和理解提出了新的思考方向。"
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142
诉达诺斯岛
Garnier/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319
(
2015
)
137
2.2
拓扑空间的投影极限
我们的许多定理将处理作为拓扑空间的
投影极限
(也称为
逆极限
或
滤极限
)得到的
空间这些拓扑投射极限被定义为集合和函数的通常范畴Set中投射极限的充分拓扑
设(I
,
≤
)是一个被看作范畴的有向偏序集,D: I
op
→Set
是一个滤集图。D
的投影极限是D上的一个终锥(
lim
D
,
π
i
),其中
lim
D是
lim
D
{
x
|
D
(
i
≤
j
)(
π
j
(
x
))
=
π
i
(
x
)
}<$
D
(
i
)
我
π
i
:
j
D
(
j
)
→
D(i)是正则投影。注意,D是从
I
到
Set
的反
transvariant
。正如定
义中所强调的,limD是包含所有元素序列的卡积
i
D(i)的子集,这些元素序列遵守
图D所施加的约束。limD的元素称为
线程
,映射D(i≤
j
)
:
D
(
j
)
→D(i)是
键
映射
。当然,limD可以是空的(参见[34]中的一个简短例子)。保证极限非空的一
个充分条件是考虑函子D,其中
I
是可数的,并且键映射是满射的[6]。为了方便起
见,我们将这些键合映射记为
π
ij
D(i
≤
j
),
并将可数的滤满图ccd简称为
ccd
。
写作
U
:
Top
→
Set
作为基本的集函子,图
D
:
I
op
→
Top
在
Top
中的滤除极限
通过赋予
U D
的Set极限以典范投影
{
π
i
}
i
∈
I
的初始拓扑而得到
。 以下有用的
附加事
实通过考虑lim D作为iD(i)的(闭)子集
的交集而 得出, 对于所有 对(
i
,
j
)
s. t
,满足
D
(
i
≤
j
)(
π
j
(
x
))
= π
i
(
x
)。
i
≤
j
。
引理2.4
(
[11]
,
Ch. 1
,
§
8.2
,
Corollaire 2
)
lim D
是
i
D
(
i
)的闭子集
。
2.3
Bochner
扩张定理
给定一个相容的有限维边缘系统的随机过程的构造是概率论中的一个重要工具,一
个经典的例子是使用Kolmogorov
扩张
定理构造布朗运动[25]。除了Kolmogorov它们
在考虑概率的空间(可测空间、拓扑空间或向量空间)的结构数量上有所不同。
– and we will make crucial use of the Bochner extension theorem for Polish
定理
2.5
对于
P
中的任意一个
ccd
,
G
(
lim
D
)
n
=
lim
G
<$
D
。
bc
n
:
lim
G
D
→
G
(
lim D
)
这个同胚
.
换句话说,
Bochner
扩张定理指出,满足图约束(
limG
D的元素)的概率的任何
投影族可以唯一地提升到极限空间(G(
lim
D)的元素)上的概率
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诉达诺斯岛
Garnier/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 319
(
2015
)
137
143
更重要的是Bochner扩张的这种表述似乎并不为人所知:在局部紧空间的情况下,
Metivier([24],定 理5.5)给出了类似 的陈 述,其中相交但 不包 括Polish空间 ;
Fedorchuk在[ 15 ]中证明了G在紧Hausdor空间类上的连续性,而最近Banakh [4]利
用
Stone- C e
空间化的性质,在更一般的
Tychono
空间
中提供了一个扩张定理。
3
零维
Polish
空间及其性质
在应用中考虑随机过程的无穷近似是很自然的。因此,这种近似的正确性应该对应
于某种限制性的论证,说明越来越精细的近似在某种适当的意义上产生了原始对
象。根据Bochner扩张定理,它可以考虑由底层空间的无穷逼近支持的概率的投影
族作为输入然而,同样的定理告诉我们,我们只能用这种方法获得有限空间(也称
为profennite空间)的投影极限上的概率,这是一个相当严格的类别:
命题
3.1
空间是有限离散空间的可数投射极限当且仅当它是紧的零维波兰空
间。
证明可以在
Borceux Janelidze [10]
中的一个稍微不同的术语下找到,其中表明
这些空间对应于Stone
空间
他们的闭集布尔代数!由于这一命题的证明对未来的发
展很有启发性,我们在这里提供它
证据
设
D
:
Iop
→
Pol
fin
是有限空间的
ccd
。
lim
D
的优美性来自
Pol
在可数极限下的
封闭性 有限空间是紧的,并且根据
Tychono
定理,
i D
(
i
)也是紧的
。引理
2.4
断
言
lim
D
在这个紧积中是闭的,因此
lim
D
本身是紧的。回想一下,
lim
D
具有正则
投影映射
π
i
的初始拓扑
:
lim D
→
D
(
i
),因此
lim D
的基由前基开
π
i
−
1
(X
i
)的
有限个交集构成,
对于
X
i
<$
D
(
i
)。因为
D
(
i
)是离散的,所以它们的任何
子集都是开闭的,前基也是开的
;
我们通过注意到开闭集的有限交集也是开闭的
而得出结论。
相反,设
Z
是一个紧的零维波兰空间。当
Z
是零维
Polish
时,它的拓扑由闭集的
可数基生成
.
因为
Z
是紧的,所以每个闭包都可以写成基闭包的有限并集。因此它的
闭序圈Clo(Z)的布尔代数也是由相同的可数基生成的,并且它本身是可数的。请
注意, Clo(Z) 不依赖于基 数的选 择! 让我们 考虑所有有 限开闭 分拆 的集合
I
(Z)
, Z.对任意
i
∈
I
(Z),
假设存在连续满射商映射
fi
:
Z
→i.因为
i
是离散
的,
所以
f
i
的纤维是闭合的。 注意
I
(Z)
也是可数的。
I
(Z)
是按划分细化偏
序的:对所有i
,
j
∈
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