【算法题】青蛙跳台阶问题(附过程取模证明)【算法题】青蛙跳台阶问题(附过程取模证明)
题目题目
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例示例 1::
输入:n = 2 输出:2
示例示例 2::
输入:n = 7 输出:21
提示:提示:
0 <= n <= 100
来源:力扣(LeetCode) 链接:https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof
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解体思路解体思路
当n = 0,不跳也算一种方式,故当n 2,可看作一个变形的斐波那契数列,F(n) = F(n-1) + F(n-2),可用临时变量保存状态,
以非递归的方式实现,而题目要求要对结果取模,且题目标明:0 <= n <= 100,当n的值过大的时候,在PHP中,如果算到最
后才对大数取模会出现溢出的情况,得不到正确的答案,因此,需要在在相加的过程中就进行取模操作,最后得出结果相等。
证明在相加过程中不断同余,不影响结果,证明过程:证明在相加过程中不断同余,不影响结果,证明过程:
要证(a+b)%c = (a%c+b%c)%c
即证a+b与a%c+b%c对c同余,则有c能整除(a+b-a%c-b%c)
设a=mc+p b=nc+q
则(a+b-a%c-b%c)=(m+n)c+p+q-p-q=(m+n)c
则证a+b与a%c+b%c对c同余
证毕
证明过程转自:https://leetcode-cn.com/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/comments/246016
PHP实现代码实现代码
class Solution {
/**
* @param Integer $n
* @return Integer
*/
function numWays($n) {
if ($n < 2) {
return 1;
}
if ($n == 2) {
return 2;
}
$n1 = 1;
$n2 = 2;
for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
$tmp = $n1 + $n2;
$n1 = $n2;
$n2 = $tmp % 1000000007;
}
return $n2;
}
}
作者:Jcrazy97
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