Chapter 3
Random Variables, Random Vectors, & Stochastic Processes
3.1 Exponential Density: f
x
(x) =
1
a
e
−x/a
u(x)
(a) Density plot for a = 1: f
x
(x) = e
−x
u(x) is shown in Figure 3.1
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
x
(x)=e
−x
u(x)
Figure 3.1: Exponential density function
(b) Moments:
i. Mean
: µ
x
=
∞
−∞
xf
x
(x)dx = 1/a = 1
ii. Variance
: σ
2
x
=
∞
−∞
(x − µ
x
)
2
f
x
(x)dx = (1/a)
2
= 1
iii. Skewness
: The third central moment is given by
γ
(3)
x
=
∞
−∞
x − µ
x
3
f
x
(
x
)
dx =
∞
0
(
x − 1
)
3
(e
−x
)dx = 2
Hence
skewness =
1
σ
3
x
γ
(3)
x
= 2 (⇒ leaning towards right)
iv. Kurtosis
: The fourth central moment is given by
γ
(4)
x
=
∞
−∞
x − µ
x
4
f
x
(
x
)
dx =
∞
0
(
x − 1
)
4
(e
−x
)dx = 9
Hence
kurtosis =
1
σ
4
x
γ
(4)
x
− 3 = 9 − 3 = 4
which means a much flatter shape compared to the Gaussian shape.
(c) Characteristic function:
x
=
E
{e
sx(ξ)
}=
∞
−∞
f
x
(x)e
sx
dx =
∞
0
1
a
e
−x(
1
a
−s)
dx =
1
a
1
a
− s
=
1
1 − as
12
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