机器学习实验：最小二乘法与多项式拟合过拟合探究

本次实验是关于机器学习中的多项式拟合，主要涉及最小二乘法、梯度下降法以及共轭梯度法等优化技术，旨在理解和解决过拟合问题。 实验围绕着一个基础的机器学习任务——用高阶多项式函数拟合正弦函数的数据。首先，通过生成带有噪声的数据集，模拟真实世界中的复杂情况。接着，使用无正则项和有正则项（L2范数）的损失函数进行拟合，这是为了对比分析两种情况下的模型性能。 最小二乘法是求解多项式拟合问题的一种常见方法，特别是在处理线性回归问题时。该方法基于泰勒展开，将目标函数表示为一系列多项式项的和。当数据点近似排列在一条直线上时，可以构建一个线性模型，通过最小化残差平方和来确定模型参数。实验中，利用矩阵运算，尤其是X0的转置矩阵，将损失函数转换为可求解的形式。损失函数J(θ)定义为预测值与实际值的差的平方和，1/2是为了简化梯度求解。 梯度下降法是一种优化算法，用于寻找损失函数最小值。它通过迭代更新模型参数，沿着梯度的反方向移动，直到找到局部或全局最小值。而共轭梯度法是在梯度下降法基础上的改进，适用于求解大型稀疏矩阵问题，通常比梯度下降更快且更有效。 过拟合是指模型在训练数据上表现良好，但在未见过的测试数据上表现较差的现象。这通常发生在模型过于复杂或训练数据不足时。克服过拟合的方法包括添加正则项（如L2范数）来限制模型参数的大小，增加更多样本来减少噪声影响，或者采用模型剪枝和特征选择等策略。 实验还要求对比不同数据量、超参数和多项式阶数对拟合效果的影响。这有助于理解模型复杂性和数据量之间的平衡，以及如何选择合适的模型参数以达到更好的泛化能力。 在实施过程中，使用MATLABR2014b作为实验环境，但要求学生自行为求解器编写代码，避免依赖自动微分工具，以增强对算法的理解和掌握。 这次实验提供了深入理解机器学习基础概念，特别是线性回归和优化方法的机会，同时也强调了防止过拟合的重要性，以及如何通过调整模型参数来改善模型性能。