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DFT对称性的验证.doc

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数字信号处理

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DFT的对称性和用一次FFT实现两个序列的DFTmatlab实现，利用dft的对称性进行分析，共轭对称序列和共轭反对称序列的直观体会及应用

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武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书

1.DFT 的对称性

1.1 共轭对称序列

长度为的有限长序列 ,若满足

, （1.1）

称序列为共轭对称序列，一般用来表示。

若满足 , （1.2）

称序列为共轭反对称序列，一般用来表示

把代入式（1.1）与式（1.2），得

, （1.3）

, （1.4）

式（1.3）与式（1.4）说明共轭对称序列与其共轭序列以成偶对

称，共轭反对称序列与其共轭序列成奇对称

设一长度为的有限长序列，令

（1.5）

（1.6）

则有

（1.7）

说明任一有限长序列，都表示成一个共轭对称序列与共轭反对称序列的和，

称为的共轭对称分量，称为的共轭反对称分量。在频

武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书

域下同样有类似结论

（1.8）

式中（1.9）

（1.10）

1.2 有限长序列的对称分量分解及其 DFT 表示

（1）当 x(n)为长度 N 的复数序列时,有

= ]

= （1.11）

同理可得

(1.12)

式（1.11）和（1.12）说明复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序

列离散傅立叶变换的共轭对称分量；复序列虚数部分的离散傅立叶变换的共轭

反对称分量。

另一方面，由式（1.7）知有限长序列可分解为共轭对称分量与共轭反对称

分量，可得其离散傅立叶变换

= （1.13）

同理可得

= （1.14）

武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书

上面两式说明复序列共轭对称分量序列的离散傅立叶变换是原来序列离散

傅立叶变换的实数部分；复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离

散傅立叶变换的虚数部分。

离散傅立叶变换的对称性，在求实序列的离散傅立叶变换中有重要作用。例

如，有两个实数序列和，为求其离散傅立叶变换，可以分别用

和作为虚部和实部构造一个复数序列 x(n)，求出 x(n)的离散傅立

叶变换，然后根据式（1.9）和（1.10）得到的共轭对称分量

和，分别对应和，从而实现一次 DFT 的计算可得

到两个序列 DFT 的高效算法。而 DFT 可以通过一次快速 FFT 变换来实现。

（2）当 x(n)为长度 N 的实数序列或纯虚数序列时,有

当 x(n)为实序列时，则

又据 )的对称性：

当 x(n)为纯虚序列时，则

又据 )的对称性：

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