高等代数（LinearAlgebra彭国华）习题讲义（下）

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数学学院 2016 级 201098050-01

习题课-1

Part I. 教材上第四章的习题

1. (线性空间的定义.)

解:

(1) M

(F ) 是线性空间. 理由: M

(F ) 上的加法和数乘满足:

①由于矩阵的加法满足交换律, 所以, 对任意 A, B ∈ M

(F ) 有 A + B = B + A;

②由于矩阵的加法满足结合律, 所以, 对任意 A, B, C ∈ M

(F ) 有 (A + B) + C =

A + (B + C);

③零矩阵 0 ∈ M

(F ) 满足: 0 + A = A 对任意 A ∈ M

(F ) 对成立;

④对任意 A = (a

) ∈ M

(F ), 取 B = (−a

) ∈ M

(F ), 则 A + B = 0 成立;

⑤对任意 A ∈ M

(F ) 有 1A = A 成立;

⑥对任意 k, l ∈ F 和 A = (a

) ∈ M

(F ), 由于

((kl)A)(i, j) = kla

= (k(l A))(i, j) = (l(kA))(i, j),

所以, (kl)A = k(lA) = l(kA) 成立;

⑦由于矩阵的加法运算和数乘运算满足分配律, 所以 k(A + B) = kA + kB 对任意

k ∈ F 和 A, B ∈ M

(F ) 成立;

⑧由于矩阵的加法运算和数乘运算满足分配律, 所以 (k + l)A = kA + lA 对任意

k, l ∈ F 和 A ∈ M

(F ) 成立.

综上, M

(F ) 关于矩阵的加法和数乘是 F 上的线性空间.

(2) C[a, b] 关于函数的加法和数乘是线性空间. 由于 [a, b] 上的连续函数的和, 数乘仍然是

[a, b] 上的连续函数, 所以, 函数的和、数乘是 C[a, b] 上的运算. ①-⑧的验证方法同 (1).

注: 仿此, 可以构造各种各样的由函数组成的线性空间.

(3) 设所给的线性方程组为 AX = β, 其解集为 S.

(i) 设 β = 0. 则 S 关于向量的加法和数乘是一个线性空间;

注: 此时, AX = 0 只有零解当且仅当 S 是零空间.

(ii) 设 β = 0. 如果 AX = β 无解, 则 S 是空集, 从而不是线性空间; 如果 AX = β 有

解, 则 S 是非空集合, 但是, 向量的加法和数乘都不是 S 上的运算 (S 对向量的加法

和数乘不封闭), 所以 S 关于向量的加法和数乘不是线性空间.

综上, S 是线性空间当且仅当 β = 0, 即, 所给的线性方程组是齐次线性方程组. 2

(4) 首先, 由于, a > 0, b > 0 时有 a ⊕ b = ab > 0, k ∈ R, a ∈ R

时有 k ◦ a = a

> 0, 所以,

⊕ 和 ◦ 确实是 R

上的运算. 其次,

① 对任意 a, b ∈ R

有: a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a, 所以, ⊕ 满足交换律;

② 对任意 a, b, c ∈ R

, 由于

(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (bc) = a ⊕ (b ⊕ c),

所以, ⊕ 满足结合律;

③ 对任意 a ∈ R

有 1 ⊕ a = 1 · a = a;

④ 对任意 a ∈ R

, 取 b =

, 则 a ⊕ b = a · b = a ·

= 1.

(此即表明, 运算 ⊕ 有零元素 1.)

⑤ 对任意 a ∈ R

有 1 ◦ a = a

= a;

⑥ 对任意 k, l ∈ R 和 a ∈ R

有:

(kl) ◦ a = a

= (a

)

= l ◦ (k ◦ a) = (a

)

= k ◦ (l ◦ a);

⑦ 对任意 a, b ∈ R

和 k ∈ R 有

k ◦ (a ⊕ b) = k ◦ (ab) = (ab)

= a

· b

= k ◦ a ⊕ k ◦ b;

⑧ 对任意 k, l ∈ R 和 a ∈ R

有

(k + l) ◦ a = a

k+l

= a

· a

= a

⊕ a

= k ◦ a ⊕ l ◦ a.

综上, R

关于 ⊕ 和 ◦ 是 R 上的线性空间. 2

注: R

关于通常意义下的数的加法和数乘不是 R 上的线性空间, 更不是 R 的子空间！

这个例子说明: 给定非空集合 V 和数域 F, V 能否成为 F 上的线性空间, 取决于 V 上是

否有满足①-⑧的两个运算.

(5) F

关于所给的运算不是实数域 R 上的线性空间, 因为 1 · 1 = 0 = 1 ∈ F

. 2

注: 事实上, F

按照所给的运算不可能是任意数域上的线性空间 (数域上的非零线性空间

必然是无限集). 但是 F

可以成为别的域 (不是数域) 上的线性空间.

(6) 结论: S = {α + kβ : k ∈ F} 关于 L 的加法和数乘是 F 上的线性空间当且仅当存在 t ∈ F

使得

tβ

必要性: 设 S 是线性空间, 则 S 对于 L 的加法运算是封闭的, 特别,

(α + β) + (α + β) = 2α + 2β ∈ S,

从而存在 x ∈ F 使得 2α + 2β = α + xβ, 即, α = (x − 2)β, 取 t = x − 2 ∈ F 即可.

充分性: 假设存在 t ∈ F 使得 α = tβ. 则由 α + kβ = (t + k)β 可知, S = {yβ : y ∈ F}.

此时, L 的加法和数乘运算也是 S 上的满足①-⑧的运算, 从而, S 是线性空间.

综上, 结论成立. 2

注: 本题中的集合 S 具有明显的几何意义: 可以看成线性空间 L 中的一条“直线”.

注: 结论中的条件“存在 t ∈ F 使得 α = tβ”不能换为 α, β 线性相关. 事实上, 当 α = 0,

β = 0 线性相关, 但此时 S = {α} 显然不是线性空间.

(7) S = {γ | γ = k

+ k

: k

, k

∈ F} 关于 L 的运算是 F 上的线性空间.

事实上, 只需验证 S 关于 L 的运算是封闭的 (因为①-⑧在 L 上成立, 因此在 S 上自然也

成立. )

对任意 γ

= k

+ k

, γ

= k

′

+ k

′

有:

+ γ

= (k

+ k

′

)α

+ (k

+ k

′

)α

∈ S;

对任意 γ = k

+ k

和任意 k ∈ F 有

kγ = kk

+ kk

所以, S 关于 L 的运算是封闭的. 2

注: 此例给出了构造线性空间的一个重要方法: 设 L 是数域 F 上的任意线性空间, 任取

, ··· , α

∈ L, 则由向量组 α

, ··· , α

的所有可能的线性组合构成的集合

S = {γ | γ =



i=1

: k

∈ F}

关于 L 的运算是 F 上的一个线性空间, 称为由 α

, ··· , α

生成的子空间.

2. (线性空间的定义、数域的概念.)

证明: 设 F 是任意数域. 则 Q ⊆ F.

F 上的数的加法运算满足线性空间的定义中的条件①-④; 用 Q 中的数与 F 中的数作数

乘, 实际上就是数的乘法, 所以线性空间的定义中的条件⑤-⑧是成立的. 2

注: 事实上, 更一般的结论也成立, 即, 设 F, K 是任意的数域, 且 F ⊆ K, 则 K (关于数的

加法运算和乘法运算) 是 F 上的线性空间, 特别:

(i) F 是 F 上的线性空间;

(ii) 复数域 C 是实数域 R 上的线性空间.

(iii) K 作为 F 上的线性空间可以是有限维的, 例如 dim

C = 2, dim

√

2) = n,

dim

(R) = ∞ (参见下面的第 12 题).

3. (线性空间的减法运算 (向量 α ∈ L 的负向量 −α = (−1)α)、加法满足消去律)

证明:

(1) 首先, kα + ((−k)α) = 0, 所以, 由负向量的唯一性有: −(kα) = (−k)α, 即, −kα =

(−k)α;

其次,

k(α − β) = k(α + (−β)) = kα + k(−β)

= kα + k(−1)β = kα + (−1)(kβ) = kα + (−k)β

= kα + (−kβ) = kα − kβ.

反之, 由 Chapter 2 Ex. 26 可知, 利用 L 的任意一个基 β

, ··· , β

和 F 上的 n 阶可逆矩

阵 A, 利用上面的②构造的向量组 α

, ··· , α

也必然是 L 的一个基, 即, 有如下的

结论: 取定 F 上的 n 维线性空间 L 的任意一个基. 则存在一一对应:

{L 的基} ↔ {F 上的可逆 n 阶方阵}.

注2: 由上面④中给出的形式记号, 可以给出题目中 A 可逆的另一个证明 (不需要 Chapter

2 Ex. 26 的结论):

由于 α

, ··· , α

也是 L 的一个基, 所以, 每个 β

也可以由 α

, ··· , α

线性表出, 即, 存

在 F 上的 n 阶方阵 B = (b

) 使得:

(β

··· β

) = (α

··· α

)







··· b







= (α

··· α

)B. ⑤

从而把④代入⑤可得 (线性表出的传递性):

(β

··· β

) = (α

··· α

= ((β

··· β

)A)B

= (β

··· β

)(AB). ⑥

即, 由⑥给出了每个 β

的由 β

, ··· , β

的线性表出方式; 但是, β

, ··· , β

线性无关, 所

以, 每个 β

的由 β

, ··· , β

的线性表出方式只能是 β

= β

, 即, AB 只能是单位阵 E

从而 A 可逆, 且 A

−1

= B.

(事实上, 由 Chapter 2 Ex. 26 和⑥已经可以得出

rank(AB) = rank(β

, ··· , β) = n,

从而, n ≥ rank(A) ≥ rank(AB) = n, 即, rank(A) = n.) 2

6. (Vandermonde 行列式, 行向量组的缩短组, 线性无关性与行列式的关系.)

证明: 注意到 m ≤ n,

所以可以考虑 γ

, ··· , γ

的一个缩短组: ˜γ

, ··· , ˜γ

, 其中,

˜γ

= (1, a

, a

, ··· , a

m−1

), 1 ≤ i ≤ m.

由于

det







˜γ







= det







1 a

··· a

m−1

. ···

1 a

··· a

m−1







是一个非零的 Vandermonde 行列式 (a

, ··· , a

互不相同),

所以, ˜γ

, ··· , ˜γ

线性无关, 而 γ

, ··· , γ

是 ˜γ

, ··· , ˜γ

的一个伸长组, 所以, γ

, ··· , γ

线性无关. 2

注: 利用此题的方法 (利用 Vandermonde 行列式), 可以构造 F

中的无穷多个向量

, ···, 使得其中的任意 n 个向量都是线性无关的:

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