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基于TMS320C64x+DSP的FFT实现

DSP、FFT

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基于TMS320C64x+DSP的FFT实现，使用DSP做FFT运算的童鞋可以看看

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ZHCA414

基于

TMS320C64x+DSP

的

FFT

实现

1 快速傅立叶变换介绍

序列 x(n), n = 0...N −1 的离散傅立叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT) X(k), k = 0...N −1 可

定义为:

( )

∑

−

−===

1,....,0,)()()(

NkWnxn

xDFTkX

其中，

knNjkn

)/2(

−

是旋转因子。

反离散傅立叶(Inverse DFT, IDFT)可定义为:

∑

−

−==

1,....,0,)(

)(

NnWkX

其中

knNjkn

)/2(

−

它们的输入输出序列都是复数。如果我们定义一个基本的运算单位为两个复数相乘再相加，则直

接根据以上公式进行 DFT 计算需要 N

次基本运算。当 N 比较大时，N

会变得非常大。这使得直

接的 DFT 计算方法对很多应用来说都不现实。

1.1 基 2 FFT

然而，如果 N 是 2 的整数次方，一种快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法可显

著的减少运算量。基 2 FFT 算法利用了旋转因子的以下周期性特性:

1)0sin()0cos(

)0(0)/2(0

=+===

−−

jNj

kkkjkNNjkN

jeeW )1())sin()(cos(

)(2/)/2(2/

−=−+−===

−−

ππ

knNjknNjkn

WeeW

))2//(2(2)/2(2

===

−−

ππ

利用这些特性，可以把 N 点 DFT 分解为以下两个 N/2 点 DFT:

ZHCA414

基于

TMS320C64x+DSP

的

FFT

实现

∑

∑∑∑

−

+−+=

++=

+==

12/

)2/(

12/

)]2/()1()([

])2/()1()([

])2/()([

)()()()(

knk

kNn

WNnxnx

WNnxWnx

WWNnxWnx

WNnxWnx

WnxWnxWnxkX

让我们把输出序列 X(k), k= 0,…, N-1 分解成连个序列：

偶数序列: X(2r), r= 0,…,N/2-1

))2/()((

)]2/()([

)]2/()1()([)2(

12/

NnxnxDFT

WNnxnx

WNnxnxrX

++=

+−+=

∑

−

奇数序列: X(2r+1), r= 0,…,N/2-1

)))2/()(((

})]2/()({[

)]2/()([

)]2/()1()([)12(

12/

)12(*)12(

WNnxnxDFT

WWNnxnx

WNnxnxrX

+−=

+−+=+

∑

−

按以上方法反复的分解 N 点 DFT 成 2/N 点 DFT 直到 N=2，使得 N 点傅立叶变换的运算复杂度由

原来的 N

降到 Nlog

N，这是非常显著的改进。这个算法也被称为频域抽取(Decimate-In-

Frequency, DIF)FFT 算法。图 1 演示了 N=8 点 FFT 的分解运算过程。上面的两个箭头（每个箭

头上都有一个数字“1”）表示两个数相加，下面的两个箭头（一个箭头上数字“1”，一个箭头

上数字“-1”）表示两个数相减。后面的

表示加减的结果再与旋转因子

相乘。

ZHCA414

基于

TMS320C64x+DSP

的

FFT

实现

X(0)

X(1)

X(4)

X(7)

X(6)

X(3)

X(5)

X(4)

X(1)

X(3)

X(6)

X(2)

-1

X(0)

X(1)

X(7)

X(6)

X(5)

X(4)

X(3)

X(2)

-1

4 points

DFT

X(0)

X(1)

X(7)

X(6)

X(5)

X(4)

X(3)

X(2)

-1

Even

Sequence

Odd

Sequence

2 points

DFT

2 points

DFT

2 points

DFT

2 points

DFT

Even of even

Sequence

Odd of even

Sequence

Even of odd

Sequence

Odd of odd

Sequence

4 points

DFT

)(

ZHCA414

基于

TMS320C64x+DSP

的

FFT

实现

Figure 1. 基 2，N=8 点 FFT

从图 1 可以看出，输出数据的顺序被打乱了。这种乱序其实有规律，我们把顺序的序号用二进制

数列在表 1 中的左边，把乱序的序号用二进制数列在表 1 中的右边。从表中我们可以看出，乱序

序号的二进制码可由顺序序号的二进制码反转得到，所以，这种规律被叫做比特反转。

Table 1. 基 2，8 点 FFT 序号比特反正

Normal order of

index n

Binary bits of

index n

Reversed bits of

index n

Bit-reversed of order

index n

0 000 000 0

1 001 100 4

2 010 010 2

3 011 110 6

4 100 001 1

5 101 101 5

6 110 011 3

7 111 111 7

1.2 基 4 FFT

如果 FFT 点数 N 是 4 的整数次方，采用基 4FFT 算法可以进一步减少运算量。基 4 FFT 算法算法

利用了旋转因子的以下周期性特性::

kkkjkNNjkN

jjeeW )())2/sin()2/(cos(

)2/(4/)/2(4/

−=−+−===

−−

ππ

kkkjkNNjkN

jeeW )1())sin()(cos(

)(4/2)/2(4/2

−=−+−===

−−

ππ

kkkjkNNjkN

jjeeW )())2/3sin()2/3(cos(

)2/3(4/3)/2(4/3

=−+−===

−−

ππ

knNjknNjnk

WeeW

))4//(2(4)/2(4

===

−−

ππ

利用这些特性，可以把 N 点 DFT 分解为以下 4 个 N/4 点 DFT:

∑

∑∑∑∑∑

−

+++

−

+++−++−+=

++++++=

++++

++=

+++==

14/

4/34/24/

14/

)4/3()4/2()4/(

14/3

4/2

14/2

14/

)]4/3()()4/2()1()4/()(

)([

])4/3()4/2()4/()([

)()

()()()()(

kkk

kNn

WNnxjNnxNnxjnx

WWNnxWN

nxWNnxnx

WNnxWNnxWNnxW

WnxWnxWnxWnxWnxkX

让我们把输出序列 X(k), k= 0,…, N-1 分解成四个序列, X(4r), X(4r+1), X(4r+2), X(4r+3), r=

0,…,N/4-1

ZHCA414

基于

TMS320C64x+DSP

的

FFT

实现

( )

)(1)(1

)]4/3()4/([)]4/2()([

)]4/3()4/2()4/()([

)]4/3()()4/2()1()4/()()([)4(

14/

4444

nBnADFT

NnxNnxNnxnxDFT

WNnxNnxNnxnx

WNnxjNnxNnxjnxrX

rrr

++++++=

+++−++−+=

∑

−

其中,

)4/2()()(1 N

nxnxnA ++=

;

)4/3()4/()(

1 NnxNnxnB +++=

( )

rrr

WnjBnADFT

WNnxNnxjNnxnxDFT

WNnjxNnxNnjxnxDFT

WWNnjxNnxNnjxnx

WNnxjNnxNnxjnxrX

)](2)(2[

)]}4/3()4/([)]4/2()({[

)]4/3()4/2()4/()([

)]4/3()()4/2()1()4/()()([)14(

14/

)14()14()14()14(

−=

+−+−+−=

+++−+−=

+++−++−+=+

∑

−

++++

其中,

)4/2()()(2 NnxnxnA +−=

;

)4/3()4/()(2 NnxNnxnB +−+=

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