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(
)
0 00 0
2 22 2
0
cos 2
2 22
j ft j ft j ft j ft
ee e e
ft
π ππ π
π
−−
+
= = +
(10)
方程(10)是一个众所周知的重要表达式,也被称为欧拉等式之一。我们可以从方程(7)和(8)推
出该等式,对于方程(7)和(8)中的
,令其相等,然后从等式中即可求解出
。
同理,我们可以通过同样的代数运算,得到一个实的正弦函数也可以表示为两个复指数函数
之和的形式:
( )
00 0 0
22 2 2
0
sin 2
2 22
j ft j ft j ft j ft
e e je je
ft
j
ππ π π
π
−−
−
= = −
(11)
仔细审视方程(10)和(11)——它们是用复数表示正弦和余弦函数的标准形式,在关于正
交通信系统的文献中随处可见。读者需记住,图 5 到图 7 的唯一目的是为了证实方程(10)和
(11)正弦和余弦函的复数表示。这两个等式,加上方程(7)和(8)被看作是正交信号处理领域的
“罗塞达石”。
我们现在可以很容易地实现复指数信号和实正弦信号之间的相互转换。此外,我们正在
学习那些能够通过同轴电缆传输、数字化和存储在计算机存储器中的实信号是如何通过复数
的概念来描述的。的确,一个复数的每个组成部分都是实数,但是,我们用特殊的方式来处
理它们——用正交的方式来处理。
现在我们已经熟知正交信号在时域的很多性质,接下来我们将看看它们在频域中的描述。
本文将让大家很容易理解这些性质,因为我们将从三维全方位来展示频域的相关特性。这样,
正交信号的相位关系将完全得以展现。图 8 给出了在频域中表示复指数函数的规则。
图 8. 复指数的解释