Daubechies小波在偏微分方程求解中的应用

"本文主要探讨了Daubechies小波伽辽金法在解决结构工程中的偏微分方程问题的应用。通过利用Daubechies小波的特性，特别是其紧支撑和正交性，文章构建了一种新的数值求解方法。文章详细介绍了Daubechies小波的性质，包括其尺度函数和小波函数的两尺度方程，以及滤波器系数的约束。同时，还讨论了如何处理Daubechies小波无解析表达式的情况，特别是在求解关联系数时的关键步骤。通过实例分析，验证了该方法在计算精度和收敛速度上的优势。" Daubechies小波是一种重要的数学工具，特别适用于信号处理和数值分析。它们由比利时数学家Ingrid Daubechies提出，具有独特的性质，如紧支撑、正交性和易于构造。紧支撑意味着小波基函数的非零区域有限，这在处理有限数据或有限域的问题时非常有用。正交性则确保了在解偏微分方程时的稳定性。 在本文中，作者选择Daubechies小波的尺度函数作为伽辽金法的基础。伽辽金法是一种数值方法，用于求解线性和非线性微分方程，通过寻找最佳逼近解来近似原问题的精确解。Daubechies小波的引入增加了这种方法的灵活性和精度。 Daubechies小波的尺度函数和小波函数遵循两尺度方程，这是小波分析的核心概念。方程(1)和(2)描述了尺度函数和小波函数如何通过滤波器系数进行递归定义。滤波器系数pk和gk在小波的构造中起着关键作用，它们满足特定的归一化条件，如方程(3)和(4)所示，确保了小波的正交性和紧支撑特性。 对于没有明确解析表达式的Daubechies小波，求解关联系数是应用小波伽辽金法的关键挑战。作者对此进行了深入讨论，尽管具体细节未在摘要中给出，但可以推断，他们可能采用了数值方法来求解这些系数。 通过一个两端固支轴力杆的受力问题作为示例，作者展示了Daubechies小波伽辽金法的高效性和准确性。数值模拟的结果与理论解相比较，证明了这种方法在计算效率和精度上的优越性，这表明该方法在工程问题的数值求解中有广泛的应用前景。 Daubechies小波伽辽金法结合了小波分析的优良特性与伽辽金法的数值解策略，为结构工程中的偏微分方程求解提供了一种有效途径。这种技术不仅提高了计算精度，而且在求解过程中展示了较快的收敛速度。