用 matlab 计算积分
4.1 积分的有关理论
定积分:积分是微分的无限和,函数
)(xf
在区间
],[ ba
上的积分定义为
∑
∫
=
→∆
∆==
n
i
ii
x
b
a
xfdxxfI
i
1
0)max(
)(lim)( ξ
其中
.,,2,1),,(,,
1110
nixxxxxbxxxa
iiiiiin
=∈−=∆=<<<=
−−
ξ
从几何意义上说,对
于
],[ ba
上非负函数
)(xf
,记分值
是曲线
)(xfy
与直线
bxax
,
及
轴所围的曲边
梯形的面积。有界连续(或几何处处连续)函数的积分总是存在的。
微积分基本定理(Newton-Leibniz 公式):
)(xf
在
],[ ba
上连续,且
],[),()(' baxxfxF
,则有
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=
∫
这个公式表明导数与积分是一对互逆运算,它也提供了求积分的解析方法:为了求
)(xf
的
定积分,需要找到一个函数
)(xF
,使
)( xF
的导数正好是
)(xf
,我们称
)(xF
是
)(xf
的原
函数或不定积分。不定积分的求法有学多数学技巧,常 用 的有换元积分和分部积分法。从 理
论 上 讲 ,可 积函数的原函数总是存在的,但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示,也
就 是说这些积分不能用解析方法求解,需用数值积分法解决。
在应用问题中,常常是利用微分进行分析,而问题最终归结为微分的和(即积分)。一
些更复杂的问题是含微分的方程,不能直接积分求解。
多元函数的积分称为多重积分。二重积分的定义为
∫∫
∆∆=
→∆+∆
ij
jiji
yx
G
yxfdxdyyxf
ii
),(lim),(
0)max(
22
ηξ
当
),( yxf
非负时,积分值表示曲顶柱体的体积。二重积分的计算主要是转换为两次单积分
来解决,无论是解析方法还是数值方法,如何实现这种转换,是解决问题的关键。
4.2 积分的数值方法
梯形法:将
],[ ba
划分为若干小区间
,.
10
bxxxa
n
=<<<=
则
∑
∫∫
=
−
==
n
i
x
x
b
a
i
i
dxxfdxxfI
1
1
)()(
在每一小区间
],[
1 ii
xx
−
上
)(xf
近似为一直线,用弦代替,有
))()((
)(
1
1
1
ii
ii
x
x
xfxf
xx
dxxf
i
i
+
−
≈
−
−
∫
−
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