硕士论文：线性方程组直接解法研究

"这篇硕士学位论文主要探讨了使用直接法解线性方程组的理论与实践，由大连理工大学的张鹏撰写，导师为程明松，专业是计算数学。论文深入研究了线性方程组的直接解法，包括矩阵分解、Gauss消去法、对称正定矩阵的Cholesky分解法及其改进，并进行了误差分析和算法适用性的讨论。" 线性方程组在许多科学和工程领域都有广泛的应用，因此，理解和掌握解线性方程组的方法至关重要。直接法和迭代法是解决线性方程组的两大主要策略。直接法通常提供更稳定且精确的解，而迭代法则适用于大规模问题，特别是当方程组过大，内存限制或计算资源有限时。 Gauss消去法是直接法中的基础，通过行操作将系数矩阵转化为上三角形或下三角形矩阵，进而求解。列主元Gauss消去法和全主元Gauss消去法是两种常见的变体，前者通过选择列主元以减少数值稳定性问题，后者则进一步增强了稳定性，但计算量相对较大。 向量范数和矩阵范数是分析线性算子和矩阵性质的重要工具。对称正定矩阵在数值线性代数中有特殊地位，因为它们具有良好的性质，如所有的特征值都是正的，可以进行Cholesky分解。Cholesky分解法就是将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵的平方，从而高效地求解线性方程组。此外，论文还探讨了改进的Cholesky方法，以优化计算过程。 误差分析是直接法中的关键部分，条件数是衡量线性方程组敏感性的指标，它决定了输入数据微小变化可能导致解的大幅度变化的程度。条件数较大的方程组在计算中更容易出现误差，对数值稳定性构成挑战。 论文通过实例展示了各种方法的实际应用，并分析了不同算法在特定情况下的适用性。作者的观点可能涵盖了对各种方法的优缺点、效率和实际应用环境的考量。 关键词包括线性方程组、LU分解（这是直接法中的另一种常见矩阵分解）、误差分析、Gauss消去法以及Cholesky分解，这些都是直接解线性方程组的核心概念。这篇论文为理解并应用这些方法提供了详尽的理论基础和实践指导。