"数值计算方法课件：解线性方程组的直接法"

数值计算方法课程的第一章主要介绍了解线性方程组的直接法。对于 n 个变元 m 个方程所组成的线性方程组，当右端常数项都为零时称为 n 元齐次线性方程组，否则称为 n 元非齐次线性方程组。一般而言，线性方程组的解是指由 n 个数 k1， k2，…， kn 组成的一个有序数组 ( k1， k2，…， kn ) ，代入方程组中使得每个等式都成立。解集合即为方程组的解的全体，如果两个方程组具有相同的解集合，则它们被称为同解的。 线性方程组可以用矩阵形式表示，简记为 Ax = b，其中 A 为系数矩阵，x 为未知数向量，b 为常数向量。解线性方程组的直接法是通过一系列方法来求解线性方程组，其中包括高斯消元法、LU分解、Cholesky分解等。其中，高斯消元法是最基本的方法，通过矩阵变换将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。LU分解则是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，从而简化了方程组的求解过程。Cholesky分解则适用于对称正定矩阵，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和其转置的乘积。 在解线性方程组时，我们需要考虑到系数矩阵的性质，例如是否是奇异矩阵，是否是对称正定矩阵等。对于奇异矩阵来说，它的行或列是线性相关的，因此可能无法求解，而非奇异矩阵则可以通过直接法求解方程组。对于对称正定矩阵来说，Cholesky分解是一种很有效的方法，可以大大提高计算的效率。 在实际应用中，解线性方程组的直接法是非常重要的，因为许多数值计算问题都可以归结为求解线性方程组。例如，在工程领域中，求解大型的线性方程组是非常常见的问题，例如有限元法等。因此，掌握解线性方程组的直接法是非常有必要的，可以帮助我们更高效地解决实际问题。 总的来说，解线性方程组的直接法是数值计算方法中的重要内容，通过一系列方法可以有效地求解线性方程组，解决实际问题。同时，我们也需要注意系数矩阵的性质，选择合适的方法来求解，以提高计算的效率和准确性。希望通过学习解线性方程组的直接法，可以更好地应用于实际工程和科学计算中。