带磁场薛定谔算子的二阶Riesz变换与极大不等式研究

本文主要探讨了关于带磁场的薛定谔算子的二阶Riesz变换和极大不等式。作者杨大春和杨四辈在他们的研究中，针对定义在实数域$\mathbb{R}^n$上的薛定谔算子$A:=-\left(\nabla - i\vec{a}\right)\cdot\left(\nabla - i\vec{a}\right) + V$进行了深入分析，其中$\vec{a} = (a_1, \ldots, a_n) \in L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$，并且势函数$V$满足0≤$V \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)$且具有一定的逆Holder条件。这些算子在量子力学中有重要的应用，特别是在描述带电粒子在磁场中的运动时。 研究的核心是二阶Riesz变换$VA^{-1}$和$(\nabla - i\vec{a})^2A^{-1}$，它们是从关联于$A$的Musielak-Orlicz-Hardy空间$H_{\phi,A}(\mathbb{R}^n)$到Musielak-Orlicz空间$L_{\phi}(\mathbb{R}^n)$的有界映射。Musielak-Orlicz-Hardy空间是一种非传统的函数空间，它结合了Hardy空间和Orlicz空间的特点，能更好地适应不同类型的不等式和算子理论。 作者引入了一个名为$\phi$的函数，它定义在$\mathbb{R}^n \times [0, \infty)$上，并满足Orlicz函数的性质。对于每个$x \in \mathbb{R}^n$，$\phi(x, \cdot)$是一个Orlicz函数，且在$(0, \infty)$上属于一致Muckenhoupt权类$A_{\infty}(\mathbb{R}^n)$，其一致临界上型指标$I(\phi) \in (0, 1]$。这个函数的选择对于证明二阶Riesz变换的有界性和与之相关的极大不等式至关重要。 具体成果包括证明了在$H_{\phi,A}(\mathbb{R}^n)$空间中，$VA^{-1}$和$(\nabla - i\vec{a})^2A^{-1}$的有界性，以及利用这些结果得到了$H_{\phi,A}(\mathbb{R}^n)$上的关于算子$A$的极大不等式。这些结果不仅扩展了现有的理论框架，也为研究带磁场薛定谔算子的性质提供了新的洞察。 本文的研究对于理解带磁场量子系统的微分方程、估计解的性质以及进一步发展Hardy空间理论具有重要意义。关键词包括Musielak-Orlicz-Hardy空间、带磁场的薛定谔算子、原子、二阶Riesz变换和极大不等式。文章被归类在数学的多个领域，如泛函分析（42B20, 42B30, 42B35, 42B25）、偏微分方程（35J10）以及算子理论（42B37, 46E30）。