自动控制原理第二版习题答案详解

"自控第二版习题答案 王划一" 本文主要讨论的是自动控制原理的相关习题解答，出自王划一编著的《自动控制原理》第二版。该资料包含了习题答案，部分答案还配有图表，以PDF格式呈现，旨在帮助读者理解和掌握自动控制理论。 首先，我们关注的是拉氏变换在解决控制系统问题中的应用。拉氏变换是控制理论中的一个重要工具，它将时间域中的微分方程转化为复频域的代数方程，简化了分析和求解过程。在题目中，给出了四个拉氏反变换的例子： (a) 针对形如 \( F(s) = \frac{1}{s^2 + 2s + 1} + \frac{1}{s^2 + 4s + 4} \) 的函数，可以使用部分分式分解法将其拆分为简单的函数，然后分别求解拉氏反变换。例如，\( \frac{1}{s^2 + 2s + 1} \) 对应于 \( e^{-t} \)，而 \( \frac{1}{s^2 + 4s + 4} \) 对应于 \( e^{-2t} \)。 (b) \( F(s) = \frac{2s + 6}{s^2 + 6s + 6} \) 可以直接求得其反变换为 \( f(t) = 6 + 3t \)。 (c) \( F(s) = \frac{3s^2 + 3s + 8}{s^3 + 3s^2 + 2s + 3} \) 通过部分分式分解后，对应的时域函数为 \( f(t) = -3e^{-t} - 3e^{-2t} - 4e^{-3t} \)。 (d) \( F(s) = \frac{s^2 + 2s + 4}{s^2 + 2\omega s + \omega^2} \) 当 \(\omega\) 为实数时，反变换为 \( f(t) = -2\sin(\omega t) \)。 接下来，我们讨论如何利用拉氏变换求解微分方程。在控制工程中，微分方程描述了系统动态行为。题目给出的四个例子展示了如何通过拉氏变换将微分方程转换为代数方程： (a) 微分方程 \( 3x'' + 7x' + 2x = 0 \) 在拉氏域中转化为 \( 3s^2X(s) + 7sX(s) + 2X(s) = 0 \)，解出 \( X(s) \) 后，再进行反变换得到 \( x(t) \)。 (b) 方程 \( x'' - 2x' = \delta(t) \) 变换后得到 \( s^2X(s) - 2sX(s) = 1 \)，解得 \( X(s) \)，再求反变换。 (c) 带有阻尼的二阶系统微分方程 \( b\ddot{x} + a\dot{x} + x = 0 \) 通常与自然频率 \(\omega_n\) 和阻尼比 \(\zeta\) 相关。在拉氏域中，这会变成关于 \( s \) 的代数方程，解出 \( X(s) \) 并反变换得到系统的响应。 (d) 最后，一个带有初值条件的一阶线性微分方程 \( ax' + bx = A\sin(\omega t) \)，在拉氏域内解出 \( X(s) \)，然后通过反变换找到 \( x(t) \)。 通过这些习题，我们可以看到拉氏变换在控制系统分析中的核心作用，它能够使复杂的动态问题变得更容易处理。学习和熟练掌握这一方法对于理解控制系统的稳定性和性能至关重要。同时，这些解答也强调了数学工具在解决实际工程问题中的实用性。