《算法导论》是一本经典的计算机科学教材,由Thomas H. Cormen等人编写,深入探讨了各种算法设计和分析的基础知识。这里提供的答案部分涵盖了第二版中的多个章节,包括核心概念和典型问题的解答。
**第2章:排序和稳定性**
- **2.1-1-3**: 介绍了合并排序(Merge Sort)的实现,如给出的`void Merge`函数展示了如何合并两个已排序的子数组,通过比较元素值并逐步填充到原数组中,保持相对顺序不变,体现了排序算法中的稳定性。
**2.3-3-7**: 数学归纳法在算法分析中被广泛应用,如2.3-3说明了递归情况下的归纳证明,2.3-6则强调了这种方法在证明某些性质或复杂度时的效率。
**第3章:递归设计**
- **3.1-1-8**: 该章节讨论了递归的基本结构,如3.1-1和3.1-2涉及到递归函数的设计,通常与分治策略相关,3.2-6和3.2-7则涉及递归性质的证明,如数学归纳法的应用。
**第4章:动态规划**
- **4.1-1-6**: 提供了递归函数的动态规划解法,例如`T(n)`的计算,表明了当问题规模分解为更小规模子问题时,时间复杂度为`cnlg(n) + n`,适用于具有重叠子问题的问题。
**第5章:图算法**
- **5.1-1**: 强调了排序问题与图算法之间的联系,比如排序可以视为对图中节点进行排列的过程。
- **5.3-1-5**: 讨论了全排列问题,通过计算生成的全排列总数和去重后的排列数量,推导出所有元素唯一排列的概率。
**第6章:分治法**
- 该章深入剖析了分治法的原理和应用,如通过递归划分问题,解决复杂问题。
**第9章、15章、16章、24章、25章**: 涵盖了其他重要主题,如图搜索算法、数据结构、图论等内容,同样包含了大量的理论分析和实例解答。
**第25章:概率和计算复杂性**
- 该章涉及算法分析中的概率论和计算复杂性理论,如证明特定概率下某个事件的发生概率,以及计算复杂度的上界和下界。
这份《算法导论》的答案集中了关键章节的核心概念、示例和证明,对于学习者理解和掌握算法设计与分析提供了有力的支持。通过这些内容,读者可以深化对递归、动态规划、分治等重要算法的理解,并学会如何运用它们解决实际问题。