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首页最优外推Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比较
本文主要探讨了外推Gauss-Seidel迭代法在解决线性方程组(Ax = b)中的应用,特别是针对大型稀疏线性系统,由于它们的计算复杂性和存储需求,迭代解法成为首选。Gauss-Seidel迭代法作为经典迭代方法之一,通过逐步更新变量的值来逼近解,而外推Gauss-Seidel则是对原方法的一种改进,通过引入适当的外推因子来加速收敛。 在特定条件下,作者确定了外推Gauss-Seidel迭代法的最优外推参数,这些参数的选择直接影响到算法的性能。他们深入研究了这两种迭代方法的收敛特性,特别是在谱半径这一关键指标上的对比。谱半径是衡量矩阵行为的重要概念,它反映了矩阵对向量拉伸或压缩的程度,数值上等于矩阵的特征值的绝对值的最大值。 通过严谨的数学分析和理论证明,论文指出在一定的假设和约束下,最优外推Gauss-Seidel迭代法的收敛速度明显优于传统的Gauss-Seidel迭代法。这意味着在外推参数选择得当的情况下,外推Gauss-Seidel能够更快地收敛到方程组的解,这对于实际问题求解有着显著的优势。 此外,作者还提供了具体的数值例子来直观展示这个结论,这有助于读者更好地理解理论结果的实际意义。他们总结了Gauss-Seidel迭代法及其外推版本的收敛速度比较,强调了这种改进方法在提高计算效率方面的价值,尤其是在处理大规模问题时,其优势更为显著。 本文的主要贡献在于提供了一种优化的迭代策略,即外推Gauss-Seidel方法,以及在特定情况下确保其优越收敛性能的理论基础。这对于数值分析和工程计算领域的研究人员来说,是一篇有价值的研究成果。
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第 S卷第 期
年 月
淮阴师范学院学报自然科学版
JOURNAL OF HUAIYIN TEACHERS COLLEGE NATURAL SCIENCE EDITION
Vol x No }
Aug
关 于 外 推 GaussSeidel 迭 代 法 的 收 敛 速 度 比 较
周小建
曹广喜
南通师范学院 数学系 江苏 南通 南京师范大学 数学与计算机科学学院 江苏 南京
摘 要 给出了一定条件下的外推 GaussSeidel 迭代法的最优外推参数和谱半径 并深入细致
的讨论了 GaussSeidel 迭代法和外推 GaussSeidel 迭代法的收敛速度的比较 证明了在一定的
条件下 最优外推 GaussSeidel 迭代法总是比 GaussSeidel 迭代法收敛的快 并给出了简单的数
值例子以说明此结果
关键词 GaussSeidel 迭代法 外推 GaussSeidel 迭代法 谱半径 收敛速度
中图分类号 O 文献标识码 A 文章编号
收稿日期
作者简介 周小建 男 江苏如皋人 助教 硕士 主要从事神经网络与最优化研究
引言
我们主要考虑以下线性方程组
AX b
其中 A R
n n
b R
n
对于求解线性方程组 一般来说 主要有直接解法和迭代解法 但对于大型稀疏线性方程组我
们主要采取迭代解法 在迭代解法中有一些经典的解法 如 Jacobi 迭代法 GaussSeidel 迭代法 SOR 方法
和 AOR 方法等
在这些方法的基础上 为了改善他们的收敛性和收敛速度 人们又发明了外推方法
这些迭代算法不仅具有广泛的应用价值 而且具有很高的理论研究价值 文献 等主要考虑了
GaussSeidel 迭代法本身的收敛性 本文主要考虑外推 GaussSeidel 迭代法 并细致深入地比较了 Gauss
Seidel 迭代法和外推 GaussSeidel 迭代法的收敛速度 从而得到 在一定的条件下 最优外推 GaussSeidel
迭代法总是比 GassSeidel 迭代法收敛速度快
下面给出一些记号和定义 我们用
B 表示矩阵 n 阶实矩阵 B 的谱半径
B 表示矩阵 B 的特
征值 记 mB
min
i
n
i
B MB
max
i
n
i
B
若记系数矩阵 A
D
C
L
C
U
其中 D
diagA 表示由矩阵 A 的对角元素所组成的对角阵
C
L
和
C
U
分别为矩阵 A 的严格下三角部分和严格上三角部分 则我们可得到下面的定义 可见文
定义 GaussSeidel 迭代法 GS 法
x
m
Gx
m
c
其中迭代矩阵 G
D
C
L
C
U
向量 c
D
C
L
b
定义 外推 GaussSeidel 迭代法 EGS 法
x
m
G
x
m
c
其中迭代矩阵 G
G
I
为常数 称为外推参数或外推因子 显然选择不同的参数我们可得
到不同的外推迭代法 当选择最优的参数
使得
G
最小时 我们称此时的 EGS 迭代法为最优外推
GaussSeidel 法 简记为 OEGS 法 因此怎样选择外推参数
得到最优外推方法就成了人们研究的一个
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