斯坦福大学算法设计：递推关系求解与k-SELECT问题探讨

在斯坦福大学2020年冬季的"设计与分析算法"课程（CS161）的第四讲中，主要讨论了中位数和选择算法的设计以及递归关系的求解策略。首先，教授强调了作业的截止时间，并提到了作业1已过期，作业2即将发布。上一次课程的重点是解决递归关系，包括如何用小于某个量的形式表达递归关系，如公式# = 2 * #/0 + 11 * #。 课程深入探讨了两种常用的解决递归关系的方法：1. Master Theorem，也被称为广义“树方法”，这是一种强大的工具，它考虑了三个参数：子问题的数量a，输入规模缩小的倍数b，以及创建所有子问题并合并解决方案所需的额外工作d。Master Theorem适用于特定形式的递归关系，当递归项满足某些条件时，能直接给出答案。 另一种方法是Substitution Method，或称猜测验证法。这种方法分为三个步骤：第一步，猜测解的表达式；第二步，通过归纳证明猜测的正确性；最后一步，得出结论。这种方法今天课程中会进一步实践，特别是用来解决k-SELECT问题。 k-SELECT问题是一个经典的问题，涉及到在一个数组中找到第k小的元素，其递归性质可以通过Substitution Method来求解。给定的有趣递归关系 !!" ≤ !" $ % + !' $ +" 对于 " > 10 的情况，虽然Master Theorem不适用，但可以用Substitution Method来尝试寻找解。 在这节课里，学生们将应用Substitution Method再次分析这个递归关系，以便更好地掌握这种方法在实际问题中的运用。通过实例演示，学生能够深化理解递归关系的处理技巧，以及如何灵活运用这些算法设计技巧来解决复杂问题。课程的计划还包括回顾之前介绍的Substitution Method，并在此基础上继续探索更多关于k-SELECT问题的解决方案。这节课对递归算法的理论和实践进行了深入讲解，对学习者来说是一次宝贵的学习机会。