实矩阵左半张量积的正定性研究

"对两个实矩阵的左半张量积为正定矩阵的性质进行深入探讨，从特征值角度给出一系列充要条件，并得出相关结论。该研究基于矩阵半张量积的概念，适用于非等维数矩阵乘法，具有广泛的应用背景，特别是在线性代数、控制理论等领域。" 矩阵左半张量积是矩阵运算的一种扩展，允许不同维度的矩阵相乘。这一概念由程代展教授在2009年的文献中首次提出，目的是为了处理非等维数的矩阵乘法情况。通常矩阵乘法要求矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，但在半张量积中，这一限制被放宽，使得更广泛的矩阵组合成为可能。 本文关注的是矩阵左半张量积的正定性，这是线性代数中的一个重要概念。正定矩阵在许多领域，如优化、控制系统和统计学中都有重要应用。正定矩阵的特性包括所有特征值都是正的，且与任何非零向量的点积都是正的。在本文的研究中，作者王慧敏、赵建立和牛磊探讨了两个实矩阵的左半张量积构成正定矩阵的条件。 首先，他们从特征值的角度出发，给出了实矩阵左半张量积为正定矩阵的一系列充要条件。这些条件可能涉及矩阵的特征值、特征值的实部以及矩阵的结构。通过分析这些条件，可以更准确地判断两个矩阵的左半张量积是否为正定矩阵。 接着，作者们进一步研究了这些条件的应用，得出了相关结论。这些结论不仅加深了我们对半张量积正定性的理解，还可能为解决实际问题提供理论依据。例如，在控制系统设计中，正定矩阵常用于确保系统的稳定性；在优化问题中，正定矩阵可以帮助构造凸优化问题，从而简化求解过程。 此外，论文还介绍了预备知识，包括矩阵半张量积的定义。半张量积分为两种情况：一是当一个向量是另一个向量的因子时，生成的是行向量；二是反过来，生成的是列向量。这种操作可以看作是对Kronecker积（张量积）的一种推广，适用于非相同维度的矩阵。 这篇论文为理解和利用矩阵左半张量积的正定性提供了新的视角和工具，对于扩展矩阵理论，尤其是在处理非等维数矩阵问题时，具有很高的理论价值和实际意义。