信息论与编码：马尔可夫信源习题解析

"《信息论与编码》作业及解答——涵盖了信息论与编码的相关习题及其解答，主要基于曹雪虹和张宗橙在清华大学出版社出版的高等院校信息与通信工程系列教材。" 信息论与编码是通信工程和计算机科学中的核心课程，主要研究如何有效地传输和存储信息以及如何检测和纠正传输过程中的错误。该主题包括多个关键概念，如熵、互信息、信道容量、编码理论等。 1. 马尔可夫信源：马尔可夫信源是一种随机过程，其中当前状态仅依赖于前一状态，而不依赖于更早的状态。题目中的马尔可夫信源有三个符号 {1, 2, 3}，并给出了它们之间的转移概率。通过构建状态图和状态转移矩阵，可以计算出每个符号的稳态概率。这涉及到线性代数中的矩阵运算和迭代方法。 2. 二阶马尔可夫链：与一阶马尔可夫信源相比，二阶马尔可夫链考虑了前两个状态对当前状态的影响。题目中给出了一个基于符号集 {0, 1} 的二阶马尔可夫链，给出了各种条件转移概率。计算稳态概率同样需要构建状态图，但处理的是更大的状态空间，这里需要解决一个更大的线性方程组。 在解决这类问题时，通常步骤包括： - 构建状态图：根据转移概率画出状态之间的连接，形成有向图。 - 状态转移矩阵：根据状态图建立状态转移矩阵，矩阵的元素是状态间转移的概率。 - 计算稳态概率：利用矩阵的幂运算（或迭代法）求解状态转移矩阵的左特征向量，其对应的特征值为1，这给出了各状态的稳态概率。 - 解线性方程组：对于二阶马尔可夫链，可能需要解更大的线性方程组，以满足所有状态的总概率为1以及概率转移的平衡条件。 信息论与编码的学习不仅涉及理论计算，还与实际通信系统的设计密切相关，例如在数字通信中，哈夫曼编码用于数据压缩，卷积码和 Turbo 码用于错误检测和纠正，这些都在现代通信技术中发挥着至关重要的作用。通过解决此类习题，学生能深入理解信息的统计特性和编码原理，为实际应用打下坚实基础。