C++实现Kruskal与Prim最小生成树算法

"最小生成树是图论中的一个重要概念,用于解决如何在连通图中找到一个边的集合,使得这些边连接所有顶点且总权重最小。本资源包含两个常用的算法实现,即Kruskal算法和Prim算法,用于在C++环境中构建最小生成树。这两种算法都是解决工程造价最小化问题的有效工具,例如在城市交通网络规划中,通过找到最低成本的连接方式来构建网络。
Kruskal算法的核心思想是贪心策略,它按照边的权重从小到大进行选择,每次添加一条新边时,确保不形成环路。具体步骤包括:
1. 初始化一个空的边集合,用于存放最小生成树的边。
2. 将所有边按权重排序。
3. 遍历排序后的边,如果添加这条边不会与已选边形成环路,则将其加入边集合。
4. 重复步骤3,直到边集合包含n-1条边(n为顶点数量)。
Prim算法则是从一个顶点开始,逐步扩展生成树,每次都选择与当前生成树连接的边中权重最小的一条。具体步骤如下:
1. 初始化一个包含一个顶点的生成树,通常是图中的任意一个顶点。
2. 计算当前生成树与其他所有顶点之间的最短距离。
3. 将与当前生成树相邻且距离最小的顶点加入生成树,同时更新边的权重。
4. 重复步骤2和3,直到所有顶点都被包含在生成树中。
在给出的代码中,`tree`类包含了邻接矩阵`s`和边集`ct`,用于表示图结构。`prim`函数实现了Prim算法,首先初始化最小生成树为邻接矩阵的第一行,然后通过循环找出每一步的最小权重边,并更新生成树。`main`函数则负责建立邻接矩阵和初始化边的权重,为算法提供输入。
为了正确运行这段代码,你需要补充完整的邻接矩阵初始化和边的输入部分,确保每个城市的连接和对应的造价都被正确地存储。同时,由于原始代码没有包括Kruskal算法的实现,你可以根据Kruskal算法的逻辑自行添加相应的函数。
在实际应用中,最小生成树算法不仅限于城市交通网络规划,还广泛应用于电力网络、通信网络、社交网络等多个领域,是图论和网络优化中的基础工具。"
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