图的概念与遍历：从基本结构到广度优先

"图的广度遍历及其应用-图的基本概念及其存储结构" 在图论这一数学领域中，图是一种非常重要的数据结构，用于描述对象之间的关系。图由节点（顶点）和边组成，其中节点代表对象，边代表它们之间的联系。在图G=(V,E)中，V是节点集合，E是边集合。节点通常用1到n的整数进行标识，而边可以表示为无序数对(u, v)，表示节点u和v之间的连接。边也有不同的类型，如自环（一个节点到自身的边）和重边（同一对节点之间有多条边）。 节点的度数是指与该节点相连的边的数量。在一个有n个节点的图中，最大的边数是n*(n-1)/2，这对应于一个完全图，其中每对不同的节点间都有一条边。简单图是指没有自环和重边的图，确保每个节点的度数不超过n-1，并且每对节点间最多有一条边。 图的路径是指一系列相邻节点的序列，简单路径不包含重复的节点和边，而圈则是起点和终点相同但中间没有重复节点的路径。图的连通性是指图中任意两个节点间是否存在路径。如果不存在这样的路径，则图是非连通的，并且可以分解为若干个互不相交的连通分量。 根据边的方向，图可以分为无向图和有向图。无向图中的边没有方向，可以双向通行，而有向图的边具有方向，从源节点指向目的节点。有向图的基图是去掉所有方向后得到的无向图。图还可以根据边是否携带权重进一步分类为无权图和加权图。加权图中的权重可以表示各种意义，如距离、成本或频率。 图的存储结构通常有两种主要方法：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示节点之间的边，对于无向图，矩阵是对称的；对于有向图，矩阵可能不对称。邻接表则是为每个节点维护一个链表或数组，存储与其相连的所有节点。 在实际应用中，图的遍历是解决问题的关键技术。广度优先搜索（BFS）是从一个节点出发，逐层探索所有相邻节点，通常用于查找最短路径或实现连通性检查。深度优先搜索（DFS）则是在图中深入探索直到到达叶节点，然后回溯，适用于找出图的强连通分量或拓扑排序。 图的基本概念包括节点、边、度数、路径和连通性等，而图的分类则涉及无向图、有向图、无权图、加权图以及特殊的图类型如完全图、树、平面图等。理解这些基本概念和分类对于解决复杂问题，如网络分析、路由算法、社会网络分析等，具有至关重要的作用。