重庆大学数理学院高数课件：多元函数微分法

“高数（重庆大学数理学院）——多元函数微分法及其应用” 这篇内容主要涵盖了高等数学（简称高数）中的多元函数微分学相关知识，具体包括以下几个重要概念和理论： 1. **多元函数的基本概念** - **区域**：在二维平面上，一个点的邻域是指与该点距离小于某个正数δ的所有点的集合。如果一个点集中的所有点都有这样的邻域且全部包含在这个点集中，那么这个点集称为开集。开集中的点称为内点。如果一个点的任一邻域内既有属于该点集的点，也有不属于该点集的点，那么这个点称为边界点。由内点构成的连通开集称为区域或开区域。 - **n维空间**：n维空间是由有序n元数组组成的，其中每个数组代表一个点的坐标。n维空间的距离定义为各坐标差的平方和的平方根。 2. **多元函数概念** - **多元函数**：在点集D中的每一个点，若变量z与(x, y)之间有一个确定的对应关系，那么z称为x和y的二元函数，通常写作z = f(x, y)。 3. **多元函数的极限、连续性和偏导数** - **极限**：讨论了点(x, y)趋近于某一点时，函数f(x, y)的极限行为。 - **连续性**：如果对于点P附近的任何点Q，函数值f(Q)都能无限接近f(P)，那么函数在P点是连续的。 - **偏导数**：对于二元函数，可以分别对x和y求导，得到偏导数∂f/∂x和∂f/∂y，表示函数在某方向上的变化率。 4. **全微分** - 全微分是函数在某点的微小变化量，它是偏导数的线性组合，反映了函数在微小变化下的近似变化。 5. **多元复合函数的求导法则**（链式法则） - 当一个多元函数是通过其他函数复合得到的，可以通过链式法则求解其偏导数。 6. **隐函数的求导公式** - 在解决某些方程f(x, y) = 0中y关于x的导数问题时，可以通过隐函数求导法则进行计算。 7. **微分法在几何上的应用** - 包括曲面的切平面和法线、曲线的切线和法线等，这些都是偏导数和全微分在几何形状分析中的应用。 8. **多元函数的极值及其求法** - 极值问题涉及到函数在某区域内最大值和最小值的寻找，通常利用多元函数的偏导数和边界条件来判断函数是否有极值。 9. **方向导数与梯度** - 方向导数描述了函数在某个特定方向上的变化率；梯度是一个向量，包含了函数在各个方向上的偏导数，且总是指向函数增长最快的方向。 这些知识构成了多元微积分的基础，是理解和解决实际问题，如物理、工程、经济等领域问题的关键工具。通过学习这些概念和方法，学生能够掌握处理多变量函数的技巧，为后续的数学和科学学习打下坚实基础。