同济大学线性代数习题解析与解答

"同济大学的线性代数课程习题详解，包含了详细的解答，适合深入学习和复习。" 在《同济大学 线性代数》这门课程中，行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性以及相似矩阵及二次型是核心知识点。这里我们将重点讨论第一章的行列式。 行列式是线性代数的基础概念之一，它是由方阵的元素按照特定规则组合而成的标量值。在第一章中，习题主要考察了行列式的计算方法，如对角线法则。例如，对于一个3阶行列式，可以使用对角线法则进行计算，即将主对角线上的元素乘积相加，副对角线上的元素乘积相减。例如： 1. 对于行列式： \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \\ \end{vmatrix} \] 可以通过对角线法则得到：\(2 \times (-4) \times 3 + 0 \times (-1) \times 1 + 1 \times 1 \times 8 - 0 \times 1 \times 3 - 2 \times (-1) \times 8 - 1 \times (-4) \times (-1)\)，计算后得到结果为-4。 2. 行列式还可以通过交换行列式的行或列来简化计算，例如，行列式： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \\ \end{vmatrix} \] 可以展开为\(acb + bac + cba - bbb - aaa - ccc\)，进一步化简为\(3abc - a^3 - b^3 - c^3\)。 3. 有的行列式可以通过因式分解来计算，例如： \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ \end{vmatrix} \] 可以化简为\((a-b)(b-c)(c-a)\)。 4. 当行列式涉及变量时，如： \[ \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \\ \end{vmatrix} \] 可以展开并合并同类项，得到关于\(x\)和\(y\)的表达式。 除了行列式的计算，课程可能还会涉及到逆序数的概念，这是在排列论中的一个概念，用于衡量一个排列中逆序对的数量。例如，要求一个自然数排列的逆序数，需要遍历排列，找出所有大小顺序相反的数对，然后计算它们的总数。 对于矩阵的其他章节，比如矩阵的运算（加法、减法、乘法）、矩阵的初等变换以及这些变换如何应用于解线性方程组，向量组的线性相关性判断，以及二次型的相似对角化等内容，同样需要深入理解和掌握。这些都是线性代数的基础，并且在后续的高等数学和工程计算中扮演着至关重要的角色。