Prim算法是一种用于求解带权无向图的最小生成树的经典算法。在给定的代码段中,`minispantree_PRIM`函数的核心是通过迭代的方式构建最小生成树。以下是对该算法的理解和关键步骤的详细解析:
**1. 图的基本概念**
图论是离散数学的一个分支,主要研究的是顶点和边的组合结构。图分为有向图(Digraph)和无向图(Undigraph)。有向图中的弧是从一个顶点指向另一个顶点,而无向图中的边是双向的,即(x,y)表示x与y之间的连接。在图中,顶点用V表示,顶点集合是非空有限集;边或弧用E或A表示,它们构成了关系集合。
**2. 图的存储结构**
图的存储通常涉及邻接矩阵(adjmatrix)或邻接表。在这个例子中,adjmatrix用来表示图的权重,其中gn[u0, v]表示从顶点u0到v的边的权重。辅助数组closedge用于记录当前已考虑的顶点及其与最小生成树的关系,包括顶点标识符vex和与u0之间的最低成本lowcost。
**3. Prim算法的步骤**
- 函数从指定的起始顶点u0开始(u0的lowcost初始化为0)。
- 对于所有其他顶点v,如果v还未被考虑(即不在集合U中),则将v的lowcost初始化为它与u0之间的边的权重。
- 在每一步中,找到未加入U的顶点中与当前U中顶点连接且具有最小成本的顶点k,将其加入U并更新closedge[k]的值。
- 当找到一条新的边时,可能需要更新其他顶点的lowcost和vex,以确保生成树的最小成本属性。
**4. 算法特性**
- Prim算法适用于寻找带权图的最小生成树,即从给定起点生成一棵连接所有顶点的树,使得所有边的权重之和最小。
- 有向图和无向图在Prim算法中的处理略有不同,因为无向图的边是双向的,所以在选择边时要考虑两条相反方向的边的成本。
- 图的大小限制(如无向图的边数)对于Prim算法的效率至关重要,因为它需要检查每一对顶点间的边。
**5. 证明**
- 对于无向图,由于每条边连接两个顶点,所以顶点总数n乘以顶点数减一除以二(n(n-1)/2)给出了最大可能边的数量上限。这表明在无向图中,存在一个最小生成树,其边数不会超过这个限制。
Prim算法通过不断扩展最小生成树来构建无向图的最小生成树,这是一种贪心策略,每次选择当前未加入树的最小成本节点。理解并掌握这种算法对于处理实际的网络优化问题,如通信网络、路由问题等具有重要意义。