优化算法实战:最速下降、牛顿法与共轭梯度法在上机作业中的应用
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更新于2024-08-11
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本资源是一份关于优化方法的上机大作业文档,主要关注于数值优化算法在解决特定问题上的应用。作业内容包括三个不同的优化方法:最速下降法、牛顿法以及共轭梯度法。以下是详细的知识点解析:
1. **最速下降法(Steepest Descent)**
- 这是一种迭代优化方法,通过沿着梯度方向逐步减小目标函数 `f(x)`。`grad(x)` 函数计算目标函数的一阶导数,即梯度。在 `steepest()` 函数中,首先初始化 `x0` 为 [0, 0]', 学习率 `ak` 起始值为1,然后在一个循环中不断调整 `xk` 位置(通过 `dk = -gk`),确保每一步都在目标函数下降最快的方向前进。如果当前步长下的函数值 `f1` 不满足下降条件,则减半学习率并重新计算,直到残差(`residual`)小于预设阈值 `eps` 或达到最大迭代次数1000次。
2. **牛顿法(Newton's Method)**
- 牛顿法基于目标函数的二阶导数(Hessian矩阵 `grad2(x)`),它使用了牛顿-Raphson迭代公式来更精确地找到最小值。该方法通过求解目标函数的负Hessian的逆来确定步长 `dk`,然后更新 `xk`。同样,残差检查和学习率调整也是迭代过程的一部分。
3. **共轭梯度法(Conjugate Gradient Method)**
- 共轭梯度法是一种迭代求解线性系统或最小化二次函数的高效算法,它不需要计算整个Hessian矩阵。在本作业中,通过 `grad2()` 函数计算目标函数的二阶导数部分,并在 `conjugate()` 函数中使用共轭方向寻找最优解。与最速下降法类似,通过不断迭代调整 `xk` 直到残差小于预设阈值 `eps`。
这份上机大作业提供了这些基础优化方法的实现,并通过实例展示了如何使用它们求解给定的目标函数 `f(x) = 10*(x(1)-1)^2 + (x(2)+1)^4`。通过实际运行代码和观察结果截图,学生可以了解这些方法在特定问题上的性能,并理解其优缺点,比如最速下降法简单但可能收敛慢,牛顿法精度高但可能需要计算Hessian,而共轭梯度法则在这两者之间取得平衡。完成这个作业有助于提升学生对数值优化的理解和编程技能。
2023-10-13 上传
2023-05-10 上传
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xiuyvshu
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