二维圆域上p-Henon方程多对称正解的分歧与计算方法

本文探讨的是计算圆域上p-Henon方程边值问题的多个正解，特别是关注O(2)对称情况下的求解策略。p-Henon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为g(u, l) = Δ_p u + |x|_l |u|^q - (q-1)u = 0，其中1 < p < q+1，l ≥ 0，且在平面单位圆Ω上满足齐次Dirichlet边界条件。对于p=2的情况，已有多位作者研究了解的存在性和多解性，早期主要依赖于有序Banach空间中的上、下解法，后来则利用临界点理论，如山路引理和极大极小定理。 文章首先通过分歧方法给出计算O(2)对称正解的算法，这是一种数学建模技术，用于解决在参数变化时方程解集的变化行为。分歧点在这里指的是参数变化导致的解分支的分裂或合并点。在论文中，分歧参数选择为p-Henon方程中的l，通过对O(2)对称解分支上的对称破缺分歧点进行研究，作者运用了扩张系统方法来追踪这些分歧点。 扩张系统方法是一种数值分析工具，它通过构造一个关于分歧参数的系统来精确控制解的行为，特别是在接近分歧点时。这种方法有助于计算出那些偏离O(2)对称性的正解，即具有不同对称性质的新解。接着，作者采用了解枝转接方法，这是一种有效的计算方法，它能够连接不同解分支，从而获得更多的正解解集。 这篇文章的主要贡献在于提供了一种结合分歧理论、扩张系统方法以及解枝转接策略，用于数值计算平面单位圆上p-Henon方程边值问题的复杂多解情况。这不仅有助于深入理解方程解的结构和性质，也为数值分析领域的多解问题提供了一种新的计算途径。通过这种方法，研究人员不仅可以验证理论上的多解性，还能得到实际解的具体数值表示，这对于后续的理论研究和实际应用都具有重要意义。