数值计算p-Henon方程的多解与D4对称性
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更新于2024-08-12
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"p-Henon方程多解的计算 (2009年) - 李昭祥,杨忠华 - 上海师范大学数理学院科学计算上海高校重点实验室"
这篇2009年的论文主要探讨了p-Henon方程的多解计算问题,该方程属于非线性偏微分方程的范畴,广泛应用于物理学、工程学、生物学和生态学等多个领域。p-Henon方程的数学形式为:
\[ f(u, r) = \Delta_p u + |x-x_0|^r|u|^{q-1}u = 0 \quad x\in\Omega \]
\[ u|_{\partial\Omega} = 0 \]
其中,$\Delta_p u$ 是非线性p-Laplacian算子,$|x-x_0|$ 表示与点 $x_0=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的距离,$q\geq \frac{1}{2}$,$1<p<q+1$,$r\geq 0$,并且 $\Omega$ 是平面上的单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$,$\partial\Omega$ 是其边界。
p-Laplacian算子在不同的p值下可以对应不同的物理现象,如当$p=2$时,它与牛顿流、伪塑性流或扩张流有关;$p=3/2$时用于多孔介质中的流体运动;$p>2$则涉及非线性弹性力学;而在$1<p<4/3$的范围内,则与冰川学研究相关。
论文的主要贡献是首先建立了保持D4对称性的有限元离散方程来解决p-Henon方程的边值问题。D4是对称群的一个代表,表示方程可能具有的特定对称性。然后,通过引入参数p,利用Newton延拓法计算出具有不同对称性质的多解。Newton延拓法是一种迭代求解非线性方程组的有效方法,通过不断逼近找到解的轨迹。
此外,文章提到了当$p=2$时,问题的研究已经相当成熟,采用的是有序Banach空间中的上下解方法和临界点理论。然而,对于$p\neq2$的情况,问题变得更加复杂,需要更高级的数学工具和技巧来分析解的存在性和多解性。
这篇论文的工作对于理解p-Henon方程的解的行为,尤其是在非标准p值下的特性,提供了重要的数值方法和理论依据。它对研究非线性偏微分方程的多解性问题具有一定的指导价值,并可能对相关领域的实际应用产生影响。
2022-07-15 上传
2022-07-14 上传
2023-09-25 上传
2023-05-30 上传
2023-05-14 上传
2024-09-23 上传
2023-06-07 上传
2023-08-12 上传
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