数值计算p-Henon方程的多解与D4对称性

"p-Henon方程多解的计算 (2009年) - 李昭祥，杨忠华 - 上海师范大学数理学院科学计算上海高校重点实验室" 这篇2009年的论文主要探讨了p-Henon方程的多解计算问题，该方程属于非线性偏微分方程的范畴，广泛应用于物理学、工程学、生物学和生态学等多个领域。p-Henon方程的数学形式为： \[ f(u, r) = \Delta_p u + |x-x_0|^r|u|^{q-1}u = 0 \quad x\in\Omega \] \[ u|_{\partial\Omega} = 0 \] 其中，$\Delta_p u$ 是非线性p-Laplacian算子，$|x-x_0|$ 表示与点 $x_0=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的距离，$q\geq \frac{1}{2}$，$1<p<q+1$，$r\geq 0$，并且 $\Omega$ 是平面上的单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$，$\partial\Omega$ 是其边界。 p-Laplacian算子在不同的p值下可以对应不同的物理现象，如当$p=2$时，它与牛顿流、伪塑性流或扩张流有关；$p=3/2$时用于多孔介质中的流体运动；$p>2$则涉及非线性弹性力学；而在$1<p<4/3$的范围内，则与冰川学研究相关。 论文的主要贡献是首先建立了保持D4对称性的有限元离散方程来解决p-Henon方程的边值问题。D4是对称群的一个代表，表示方程可能具有的特定对称性。然后，通过引入参数p，利用Newton延拓法计算出具有不同对称性质的多解。Newton延拓法是一种迭代求解非线性方程组的有效方法，通过不断逼近找到解的轨迹。 此外，文章提到了当$p=2$时，问题的研究已经相当成熟，采用的是有序Banach空间中的上下解方法和临界点理论。然而，对于$p\neq2$的情况，问题变得更加复杂，需要更高级的数学工具和技巧来分析解的存在性和多解性。 这篇论文的工作对于理解p-Henon方程的解的行为，尤其是在非标准p值下的特性，提供了重要的数值方法和理论依据。它对研究非线性偏微分方程的多解性问题具有一定的指导价值，并可能对相关领域的实际应用产生影响。