一维奇异摄动问题的高阶非对称内罚有限元方法

"祝鹏和杨宇博等研究了一维奇异摄动问题中高阶非对称内罚间断有限元方法在Shishkin网格和Bakhvalov-Shishkin网格上的最优阶一致收敛性。他们采用k次分片多项式，并通过数值算例验证了理论分析结果。" 在计算科学领域，奇异摄动问题是一类具有特殊解结构的微分方程，通常在物理、化学和工程中出现。这类问题常常涉及快速变化和缓慢变化的物理过程，导致传统数值方法可能无法提供精确的解。本文聚焦于解决一维对流扩散型奇异摄动问题，这类问题在处理涉及物质传输和反应的过程时特别重要。 文章中提到的非对称内罚间断有限元方法（NIPG）是一种有限元方法的变种，适用于处理带有间断解或边界条件的偏微分方程。NIPG方法通过引入惩罚项来保证离散系统的稳定性和收敛性，同时允许解在元素内部不连续。这种方法在处理对流主导的问题时特别有效，因为它能更好地捕捉对流项的特性。 作者在Shishkin网格和Bakhvalov-Shishkin网格上进行了分析。Shishkin网格是一种特殊的非均匀网格，设计用于改善奇异摄动问题的数值解，它在问题的奇异区域有更细的网格，而在其他区域网格较粗，有助于减少误差。Bakhvalov-Shishkin网格是另一种适应奇异问题的网格，它结合了Shishkin网格的优点，进一步优化了解的精度。 研究发现，当采用k次分片多项式（k≥1）并在N个网格剖分单元上应用NIPG方法时，对于Shishkin网格，可以得到一致误差估计为O((N−1)klnN)，这意味着随着网格细化，误差以最优的k阶减小，且受到lnN的轻微影响。而在Bakhvalov-Shishkin网格上，一致误差估计为O(N−k)，这表明网格细化时误差以k阶速率减小，没有lnN的修正项。 为了证实这些理论分析，作者进行了数值算例，这些实例展示了理论预测的收敛行为，从而增强了对所提出方法有效性的信心。这些结果对于改进数值模拟技术，特别是在处理实际工程和科学问题中的奇异摄动问题时，提供了重要的理论基础和实用指导。 该研究通过深入分析高阶NIPG方法在处理一维奇异摄动问题时的性能，为理解和优化这类问题的数值解法提供了新的见解。这对于提升对流扩散问题的数值模拟精度，特别是当问题具有显著的尺度分离和奇异特性时，具有重要的理论和实践价值。