C++ 实现稀疏矩阵与对称矩阵的压缩存储

"C++ 数据结构之对称矩阵及稀疏矩阵的压缩存储技术的实现" 在计算机科学中，处理大型矩阵时，如果矩阵中大部分元素都是零，那么使用传统方式存储将非常浪费空间。为了解决这个问题，我们引入了稀疏矩阵（Sparse Matrix）的概念。稀疏矩阵是指非零元素的数量远小于矩阵总元素数量的矩阵。在C++中，我们可以采用压缩存储的方式来高效地表示和操作这类矩阵。 1. 稀疏矩阵的压缩存储 稀疏矩阵的压缩存储通常采用两种方法：三元组表（Triple List）和十字链表。三元组表是将矩阵中的每个非零元素用一个包含行索引、列索引和值的三元组表示，然后将所有这些三元组存储在一个动态数组或向量中。这样，只有非零元素被存储，大大减少了存储需求。在给定的代码中，`Triple` 结构体就用于表示三元组，`SparseMatrix` 类则实现了稀疏矩阵的压缩存储功能。 ```cpp template<class T> struct Triple { size_t r; size_t c; T value; // ... 构造函数等 }; template<class T> class SparseMatrix { public: // ... 构造函数、Display() 函数等 private: std::vector<Triple<T>> _matrix; // ... 其他成员变量 }; ``` 在这个实现中，`SparseMatrix` 的构造函数接受一个二维数组和非法值（通常是零），遍历输入数组并仅将非零元素存储到 `_matrix` 向量中。 2. 对称矩阵 对称矩阵是这样的矩阵，它的主对角线（即从左上角到右下角的线）两侧的元素是相等的。例如，如果 `A[i][j]` 存在于矩阵中，那么 `A[j][i]` 也存在，并且它们的值相等。在处理对称矩阵时，我们只需要存储下三角部分或者上三角部分，因为其余部分可以通过对称性推导出来。这进一步减少了存储需求。 3. 压缩存储对称矩阵 对称矩阵的压缩存储通常结合稀疏矩阵的压缩存储方法，只存储非零元素的一半。在C++中，可以扩展 `SparseMatrix` 类来专门处理对称矩阵。例如，可以添加一个标志来判断矩阵是否是对称的，然后在插入元素时检查对称性，只存储非零元素的下三角部分。 在实际应用中，压缩存储对称矩阵和稀疏矩阵可以显著提高计算效率，尤其是在进行矩阵运算如乘法和求解线性方程组时。此外，这种压缩存储方式也有利于内存管理和算法的优化。 总结，C++ 中对称矩阵及稀疏矩阵的压缩存储是解决大规模稀疏矩阵问题的关键技术，通过高效的数据结构和算法设计，可以有效地减少存储需求，提升程序运行效率。在实际编程中，根据具体应用场景选择合适的压缩存储策略，能有效提高程序的性能和资源利用率。