线性矩阵不等式(LMI)工具箱详解与应用

"LMI工具箱--俞立" 线性矩阵不等式（LMI）工具箱是一个专门用于解决线性矩阵不等式问题的高效软件包，由俞立先生开发。该工具箱采用结构化的线性矩阵不等式表示方法，使用户能够以自然的块矩阵形式描述各种线性矩阵不等式问题。它提供了一系列工具，用于线性矩阵不等式的定义、处理、修改以及数值求解，广泛应用于系统稳定性和控制理论等领域。 线性矩阵不等式（LMI）的基本形式是0 < N + L_1x_1 + ... + L_nx_n，其中N是已知的对称矩阵，x_1, ..., x_n是决策变量，L_1, ..., L_n是与决策变量相关的矩阵。在实际应用中，LMI通常表现为矩阵变量的仿射函数，如Lyapunov矩阵不等式，它在系统稳定性分析中扮演着重要角色。 以Lyapunov矩阵不等式为例，对于一个二阶系统，矩阵不等式为XAT + AX < 0，其中X是对称矩阵变量，A是系统矩阵。通过代数变换，我们可以将此不等式转化为LMI的一般形式。在二阶系统中，X的决策变量是其元素x_1, x_2, ..., x_n，这些元素可以通过矩阵X的对角线和非对角线元素表示。 LMI工具箱提供了多种功能，包括： 1. 直接描述线性矩阵不等式：工具箱允许用户以自然的块矩阵形式定义LMI，简化了问题的建模过程。 2. 获取信息：用户可以查询关于现有LMI系统的详细信息，例如矩阵的大小、属性等。 3. 修改系统：工具箱支持对已定义的LMI系统进行修改，如添加或删除约束。 4. 求解LMI问题：内置的线性矩阵不等式求解器能有效地计算满足不等式的决策变量值。 5. 结果验证：工具箱还提供了验证解是否满足不等式条件的功能，确保解的正确性。 LMI工具箱中的函数和命令详细介绍了如何使用这些功能，帮助用户解决各种线性矩阵不等式问题。这包括创建、操作和求解LMI的命令，为系统分析师和控制工程师提供了强大的数学工具，以处理复杂系统的优化和稳定性分析任务。