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量子光学讲义:二能级体系的半经典理论与瞬态相干作用
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更新于2024-07-19
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本讲义合集由中山大学余向阳老师在2013年发布,聚焦于量子光学领域,特别关注瞬态相干光学过程的研究。瞬态相干光学涵盖了一系列重要现象,如自感应透明、超辐射、自由感应衰减、光学章动、光子回波和光学孤子,这些现象都与超短激光脉冲与物质体系的相互作用密切相关。在非微扰理论适用范围之外,半经典理论成为处理光与物质相互作用的有效工具。 半经典理论以量子力学描述物质体系,而光场则采用经典麦克斯韦方程来模拟,这种方法在处理二能级体系时尤为关键。通过从薛定谔方程出发,利用不同的描绘方法(如薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景,以及密度矩阵),可以导出描述二能级体系动态的非线性常微分方程。这些方程的建立和求解有助于深入理解光与二能级体系的基本相互作用机制,是量子光学课程的核心内容,也为理解光与物质相互作用和激光物理学提供了基础。 半经典理论的主要物理假设包括: 1. 二能级近似:实际物质体系包含多个能级,但在特定情况下,只考虑两个能量接近的能级,忽略其他能级的影响,这是简化问题的关键。 2. 近共振激发:光场的能量接近或等于这两个能级之间的能量差,并允许能量在两个能级之间转移。 3. 原子间的直接相互作用忽略:在低密度系统中,原子间的直接相互作用可以视为原子内部的弛豫或衰减,对整体影响较小。 4. 集体效应:在高密度原子系统中,原子间的间接相互作用可能导致集体行为,如原子间的NDD作用模型,以及在量子纠缠等量子相关现象中的考虑。 通过学习这些内容,学生不仅能掌握量子光学的基础概念,还能拓展到更复杂的光与物质相互作用现象及其应用,对理解激光技术、量子信息科学等领域具有重要意义。
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16
可见
2i i
e1e 1
这样有:
(,) (,)
ab ba
rr rr
(1.3.40)
因此从全同性原理出发推出两个同类粒子构成系统波函数只能是对称的(粒子交换后波函数不变)或是反对
称的(粒子交换后波函数反号)。
波函数是对称的还是反对称的,反映了两类性质完全不同的粒子。要求波函数对称的粒子为玻色子,
要求波函数反对称的粒子为费米子。从粒子本身性质看,玻色子的自旋为整数,如光子、介子和中间玻色
子等。而费米子的自旋为半整数(以
为单位),属于费米子的有电子、 μ 子、中子和质子等。费米子组成
的复合粒子,如原子、分子,原子外电子为奇数是费米子,是偶数为玻色子。费米子构成系统时还必须满
足泡里不相容原理。在每一个量子态上最多只能有一个费米子,或者说两个费米子不能有完全相同的全部
量子数。
1.4 二能级体系与光相互作用的量子力学处理方法
当量子力学用薛定谔波动力学方式来描述时,其状态是用波函数来表示的。在坐标表象中波函数表示
为: (,)rt
,自变量是空间坐标 r
和时间坐标 t 。表示力学量的算符也与所用的的变量有关,即与表象有
关。当量子力学用狄拉克矩阵力学方式来描述时,量子状态表示与表象无关。若系统处于状态
,系统
某力学量的平圴值(期望值)为
ˆˆ
LL
。则当系统变化时,
ˆ
L
也将随时间变化。这变化可以来源
于
()t
,也可以来源于
ˆ
()Lt
,到底以谁的变化来的实现就形成了 3 个绘景(picture),即:薛定谔绘景、
海森堡绘景和相互作用绘景。
1.4.1
光场的形式
考虑二能级原子体系与形如(1.4.1)式的单一光场的相互作用(图 1.4.1)。假定光场是沿
z
轴方向传播的
线偏振光,则其光场的形式可以表示为:
ii * ii ii
11
(,) (,)e (,)e (,)e c.c
22
tkz tkz tkz
Ezt Ezt E zt Ezt
(1.4.1)
注意:在不涉及到光场振幅部分随空间
z
方向变化时,可把 (,), (,)Ezt Ezt
简写为 (), ()Et Et
。在不考虑空
空变化时,光场可以用下面简化的形式:
i*i
1
() ()e ()e
2
tt
Et Et E t
(1.4.2)
式中
为光的载波角频率(angular frequency),
2π
k
表示空间
2π
个单位内波的周期数,称为角波数
(angular wave number),
为波长(wavelength), ()Et
为光场的振幅(amplitude),普适的情况为复数,称为
复振幅,即为:
i()
0
() ()e
t
Et E t
(1.4.3)
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17
如果为实振幅,即 () 0t
,则有:
)()(
~
)(
~
0
*
tEtEtE (1.4.4)
式中, )(
0
tE 为实振幅。
1.4.2 二能级原子模型与量子双态系统
对于原子、分子或其他物质体系(下面,如果没有特别申明,都是以原子体系为例),在研究光场与原
子相互作用时,仅考虑原子中两个能级而忽略其他能级作用,称二能级原子模型。
对于如图 1.4.1 所示的二能级原子(体系),原子(体系)的波函数或态矢量为:
22
() ()2 ()1tct ct
(1.4.5)
式中:
2
2
)(tc 和
2
1
)(tc 分别是粒子处于态 2 和 1 的几率,并满足
22
21
() () 1ct ct (1.4.6)
二能级原子模型中,原子仅为二个能态,分别了 2 和 1,其中 1 为基态,2 为激发态,态矢量表示为
2
和 1 ,是二能级体系的基矢,可以用来构成一个量子比特。其矩阵的表示
1
2
0
0
1
1
(1.4.7)
满足完全性关系:
1010
ˆ
22 11 10 01 1
01 01
= (1.4.8)
图 1.4.1 单一光场与二能级体系相互作用模型
1.4.3 薛定谔绘景
在薛定谔绘景中,力学量平均值变化来自于态矢量而与算符无关,即算符不随时间变化,
SSS
ˆˆ
() ()
M
tM t
(1.4.9)
式中,
S
()t
的变化满足薛定谔方程。下标 S 表示是薛定谔绘景下的波函数,下面省去下标 S。“
”表
示算符。
1
0
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18
体系的薛定谔方程为:
i
ˆ
() ()tHt
(1.4.10)
式中,
ˆ
H
为体系的总哈密顿量,
0I
ˆˆ ˆ
HH H
(1.4.11)
其中,
0
H 为体系未被光场作用前的哈密顿量,作于基矢可得:
02 2
ˆ
22 2H
(1.4.12a)
01 1
ˆ
11 1H
(1.4.12b)
式中:
21
,
分别是上能级与下能级的本征能。
由完全性关系(1.4.8),并应用式(1.4.12),可是到算符
0
ˆ
H
的矩阵形式为:
00 21
2
21
1
ˆˆ
(2 2 1 1) (2 2 1 1) 2 2 1 1
0
10 00
0
00 01
HH
(1.4.13)
I
ˆ
H
光场与体系的相互作用量。
I
ˆ
H
表示光场与原子的相互作用的哈密顿量。
定义原子的偶极矩为:
er
(1.4.14)
在量子力学上,上式就要用算符来表示,即:
ˆˆ
er
(1.4.15)
显然,
ˆ
是奇宇称,由于二能级体系的两个本征态 2 和 1 有确定的宇称,于是有:
ˆ
22 0
,
ˆ
11 0
,
21
ˆ
21 0
,
*
12 21
ˆ
12 0
(1.4.16)
21 21
,
就称为电偶极矩阵元。如果两个本征态 2 和 1 的波函数分别表示为
2
()r
和
1
()r
,则电偶极矩
阵元为(即求电偶极矩的期望值):
3
21 2 1
ˆ
2 1 ()( ) ()drer rr
(1.4.17)
一般情况下,电偶极矩阵元是复矢量,故可以表达为:
21 R I
i
(1.4.18a)
12 R I
i
(1.4.18b)
RI
,
都是实矢量。这样,厄米算符
ˆ
可以在原子本征态矢集{2 ,1}展开二维希尔伯特空间中表示为非
对角矩阵形式。[彭金生,李高翔,《近代量子光学导论》,P26-28]
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19
由(2.1.15)式,有
12 21 12 21
21
12 21
12
ˆˆ
11 2 2 11 2 2
11 11 11 2 2 2 2 11 2 2 11
01
12 21 10 01
10
0
00 01
0
10 00
er e r
er r r r
(1.4.19)
在电偶极近似下,电偶极相互作用能为:
E
,在量子力学表述中,则为求相互作用量
ˆ
E
的期
望值,即:
33
I21 2 1 2 1
21 21
ˆ
()( ) ()d () ()d
21
HrerErreErrrr
er E erE E
(1.4.20)
在我们的问题所设中,假定光场为
x
方向线偏振光,这样有:
I
12 21 12 21
21
12 21
12
ˆ
ˆ
ˆˆ
( )() 11 2 2 11 2 2 ()
01
1 2 2 1 () 1 0 0 1 ()
10
0()
00 01
()
() 0
10 00
HEexEtexEt
Et Et
Et
Et
Et
(1.4.21)
式中,这样定义:
*
12 21
ˆ
12ex
(1.4.22)
称为
x
方向原子的电偶极矩元。通过选择原子系统本征函数的相对相位可使得:
*
12 12 21
(1.4.23)
且为实数(本讲义通常就用这种方式表示)。
将(1.4.11),(1.4.13),(1.4.21)式代入(1.4.10)式,整理后,可得:
111 2
i()
() i () ()
Et
ct ct ct
(1.4.24a)
222 1
i()
() i () ()
Et
ct ct ct
(1.4.24b)
令:
1
i( /2 )
11
() ()e
t
ct ct
(1.4.25a)
2
i( /2 )
22
() ()e
t
ct ct
(1.4.25b)
式中:
21
,为共振失谐量,
21 2 1
上、下能级的共振频率。将上式应用到(1.4.24)式,整
理后可得:
i*i
i
11 2
i()e ()e
() i () ()e
22
tt
t
Et E t
ct ct ct
(1.4.26a)
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20
i*i
i
22 1
i()e ()e
() i () ()e
22
tt
t
Et E t
ct ct ct
(1.4.26b)
在旋转近似下,有:
*
11 2
i()
() i () ()
22
Et
ct ct ct
(1.4.27a)
22 1
i()
() i () ()
22
Et
ct ct ct
(1.4.27b)
令:
*
*
()
()
Et
t
,
()
()
Et
t
(1.4.28)
则(1.4.27)可写成:
*
11 2
i()
() i () ()
22
t
ct ct ct
(1.4.29a)
22 1
i()
() i () ()
22
t
ct ct ct
(1.4.29b)
上二式可写式矩阵的形式:
*
1
1
2
2
()
() ()
i
()
2
() ()
ct
ct t
ct
ct t
(1.4.30)
1.4.4 海森堡绘景
在海森堡绘景中,力学量平均值变化来自于算符
ˆ
()
M
t ,而与态矢量
无关,即
HH H
ˆˆ
()MMt
(1.4.31)
其中,
ˆ
()
M
t 的变化满足海森堡方程,即有:
HH H H
ˆˆˆˆˆ ˆˆ
i()()()()()(),()
M
tMtHtHtMt MtHt
t
(1.4.32)
1.4.5 相互作用绘景
若系统受到某种微扰作用,如在辐射场中的原子体系,则其哈密顿算符为
0
ˆˆˆ
HHV
(1.4.33)
其中,
0
ˆ
H
为原子内部哈密顿量,
ˆ
V
为相互作用哈密顿量。对这系统的研究可以用相互作用绘景,在这个
绘景中,态矢量和算符都随时间变化
II I
ˆˆ
()MMt
(1.4.34)
相互作用绘景中的态矢量和算符与薛定谔绘景中的态矢量和算符之间的关系,可以通过幺正变换得到
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