蒙特卡洛模拟方法详解

"Methods of Monte Carlo Simulation II - Ulm University Institute of Stochastics Lecture Notes by Dr. Tim Brereton - Summer Term 2014" 本书是关于蒙特卡洛模拟方法的广泛概述，适合对计算机模拟感兴趣的学生。蒙特卡洛方法是一种利用随机数（或更准确地说是伪随机数）进行数值计算的技术，广泛应用于各种科学和工程领域。书中涵盖了从基础的随机过程到复杂的马尔科夫链和泊松过程等多个主题。 1. **简单的随机过程** (Some Simple Stochastic Processes) - 随机过程：是随机变量序列的集合，描述了随机现象随时间演变的规律。 - 随机游走：一种基本的随机过程，包括伯努利过程和不同类型的随机游走模型。 - 伯努利过程：一系列独立的、结果只有成功和失败两种可能的随机试验。 - 随机游走的概率：研究随机游走达到特定位置或超出界限的概率。 - 随机游走的分布：分析随机游走变量Xn的统计特性。 - 第一次穿越时间：研究随机游走首次达到特定区域所需的时间。 2. **估计器** (Estimators) - 偏差和方差：评估估计量准确性的重要指标，偏差是估计值与真实值的期望差，方差衡量的是估计值的离散程度。 - 中心极限定理：在大样本情况下，不管原分布如何，均值的抽样分布趋向于正态分布。 - 非渐近误差界：在不考虑样本大小无限增加的情况下，提供估计误差的上界。 - 大O和小o记号：用于描述函数增长速度的符号，大O表示上界，小o表示渐近忽略项。 3. **马尔科夫链** (Markov Chains) - 模拟马尔科夫链：学习如何通过随机数生成来模拟这些过程。 - 从离散均匀分布中抽样：在模拟马尔科夫链时，可能需要从特定的离散分布中抽取样本。 - 小状态空间上的抽样：对于状态空间有限的情况，提供了抽样方法。 - 马尔科夫链的通信性质：讨论马尔科夫链的状态之间是否可达。 - 强马尔科夫性质：无论历史如何，马尔科夫链的未来仅取决于当前状态。 - 往返性与暂留性：区分马尔科夫链的状态是否最终会返回或永久离开。 - 随机游走的往返性：研究随机游走是否具有返回原点的特性。 - 平稳分布：马尔科夫链在长时间运行后达到的稳定状态分布。 - 极限分布：当时间趋向无穷大时，马尔科夫链状态分布的极限行为。 - 反转性：某些马尔科夫链的特殊性质，其中逆过程也是马尔科夫链。 4. **泊松过程** (The Poisson Process) - 点过程：在时间或空间上随机出现的事件的数学抽象。 - 泊松过程：一种重要的连续时间随机过程，其事件发生服从泊松分布，事件间独立且等间距。 这些内容不仅涵盖了蒙特卡洛方法的基础知识，还深入探讨了其在随机过程模拟中的应用，是学习和理解这一领域的宝贵资源。通过学习这些理论和技巧，读者将能够有效地使用Matlab等工具进行蒙特卡洛仿真，解决实际问题。