图的数据结构与算法基础

"习惯性约定-chapter4图" 在图论和计算机科学中，图是一种重要的数据结构，它用于表示对象之间的复杂关系。本章主要介绍了图的基本概念、存储方式、操作以及各种算法，涵盖了从基础到应用的多个方面。 首先，图由两个集合构成：顶点集（Vertex Set）V(G)和边集（Edge Set）E(G)，通常表示为G=(V(G), E(G))或者简写为G=(V, E)。在这个例子中，我们看到一系列顶点（如A, B, C, D, E）及其序号，这表明顶点可以通过它们的序号来标识，表示它们在图中的位置。 图的类型主要有两种：无向图和有向图。在无向图中，边是顶点的无序对，这意味着边没有方向，例如(v1, v2)和(v2, v1)是等价的。而在有向图中，边是顶点的有序对，如<v1, v2>，表示从v1到v2的方向。有向图中的边通常称为弧，其中v1是弧尾，v2是弧头，且<v1, v2>不同于<v2, v1>。 带权图是图的一个变种，其中每条边或弧都附带有数值，这个数值被称为权重。权重可以代表多种含义，比如两个顶点之间的距离或成本。在提供的示例中，我们看到一个带权图，其中各个边的权重分别表示了从一个顶点到另一个顶点的某种代价。 图的一些基本性质包括边的数量相对于顶点数量的限制。对于无向图，因为每条边连接两个不同的顶点，所以边的最大数量是n(n-1)/2，这在没有自环的情况下成立。而有向图，每个顶点可以发出最多n-1条弧，所以最大边数为n(n-1)。 此外，完全图是指每个顶点都与其他所有顶点通过边相连的无向图，因此它有n(n-1)/2条边。在提供的内容中，有一个关于有n(n-1)条边的无向图的讨论，这实际上是指一个完全图的情况。 图的常用操作包括存储和遍历。存储方法主要有邻接矩阵和邻接表等。遍历则包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），这两种方法在寻找图的特定路径、判断连通性等问题中非常有用。此外，图的算法还包括求解最小生成树（如Prim或Kruskal算法）、求最短路径（如Dijkstra算法）、拓扑排序以及关键路径分析等。 这些知识点在实际问题中有着广泛的应用，例如在网络路由、交通规划、社交网络分析等领域。理解并掌握图的理论和算法对于解决复杂关系的问题至关重要。