六章详解：树与二叉树选择题集与知识点梳理

第六章主要探讨树和二叉树的基本概念和性质，涉及一系列选择题和填空题。这些题目围绕核心概念展开，旨在测试学生的理解程度。 1. 题目1要求计算一棵具有5层的满二叉树中结点总数。满二叉树每一层除了最后一层外，都是满的，且最后一层的所有节点都尽可能靠左排列。对于满二叉树，第1层有1个节点，每增加一层，结点数翻倍。所以，5层满二叉树的节点总数是 \(2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1 + 2 + 8 + 16 = 31\)，答案是A. 31。 2. 深度为d的二叉树中，第k层最多有 \(2^{k-1}\) 个结点（满二叉树的情况），最少有 \(2^{k-1} - (k-1)\) 个结点（仅当除了最后一层其余全满时达到最少，最后一层不考虑最左侧的不完全分支）。 3. 题目3涉及二叉树的高度与结点数的关系。对于具有 \(n\) 个结点的二叉树，其高度h满足 \(2^{h-1} \leq n < 2^h\)。给定1025个结点，高度h等于11时，\(2^{10} = 1024\) 已经接近结点数，但不够，而 \(2^{11} = 2048\) 超过了，因此h为10，答案是B. 10。 4. 完全二叉树的叶子结点个数可以通过计算最后一层的结点数确定。完全二叉树中，最后一层的结点从左到右排布，如果有1001个结点，那么叶子结点数等于1001，因为它们都是叶子。 5. 题目5考察结点编号规则。完全二叉树从根开始编号，左孩子编号比父节点小1，根节点编号为1，所以编号为30的结点左孩子的编号是29，其双亲的编号是30除以2向上取整，即15。 6. 非空二叉树的中根遍历序列中，根结点的右边可能是部分或全部的右子树结点，具体取决于树的具体结构。这里没有给出明确选项，但通常情况下，中根遍历可能包含右子树的部分或全部结点，所以可能选择B或D，取决于具体的例子。 7. 题目7问的是第5层最多有多少结点。满二叉树的第i层最多有 \(2^{i-1}\) 个结点，所以第5层最多有 \(2^4 = 16\) 个结点。 8. 完全二叉树中度为2的结点数与树的总高度有关，但具体数量受限于最后一层的结点分布。在深度为5的完全二叉树中，度为2的结点数最多为最后一层的左半部分，即 \(2^{(5-1)} = 16\) 个。 9. 题目9考查完全二叉树的结点个数。已知第6层有8个叶结点，根据完全二叉树的性质，从最后一层向前推算，第5层到第1层的叶结点数量构成一个等比数列，结点个数最少的情况是最后一层全满且其余层为满二叉结构。此时，第5层有 \(2^{5-1} = 16\) 个结点，第4层有 \(2^{4-1} = 8\) 个结点，以此类推，直到第1层。最少结点数为 \(8 + 16 + ... + 8 = 8(1 + 2^4) = 8 \times 17 = 136\)，加上第6层的8个叶结点，总数最少是144，对应选项中没有这个数字，可能题目数据有误。 10. 度为2的结点数与叶子结点数的关系是：在完全二叉树中，除了度为2的结点，还有两个度为0的叶子结点。因此，度为2的结点数加2等于叶子结点数。题目10没有给出具体的度为2结点数，无法直接计算。 11. 题目11提到二叉树的叶子结点数，结合二叉树的性质，叶子结点总是最少的，如果二叉树有50个叶子结点，那么至少有50个结点，因为每个非叶子结点至少有两个子结点。 12. 题目12涉及高度为h的二叉树结点数。高度为h的二叉树，度为0（叶子结点）的结点至少是h个，度为2的结点至少也是h个，因为每个非叶子结点有两个子结点。所以总结点数至少是 \(2h\) 个，答案是B. 2h。 13. 题目14介绍线索二叉树的目的。线索二叉树引入线索是为了在二叉树中快速定位结点的前驱或后继，特别是对于简化查找操作，答案是A. 15. 题目15分析中序序列和后序序列相同的二叉树特征。如果中序序列和后序序列相同，说明树是线索二叉树或者是一条链，或者树是单支树（只有一个节点）。选项C（只有根结点）是正确的，因为只有一个结点的树中序和后序序列相同。 16. 题目16讨论二叉链表中的空指针域。在n个结点的二叉链表中，空指针域的数量取决于如何使用这些空间存储遍历序列中的前后结点指针，这被称为线索。 17. 题目17考察先序和后序序列相同的二叉树。先序和后序序列相同的树表明除了根节点外，其余节点的左右子树结构相同，但具体到选项，这里没有给出完整的答案，可能需要进一步分析。 本章内容主要围绕树和二叉树的结构特性、节点计数、遍历顺序、线索二叉树的作用以及特定情况下的结点关系等知识点展开，通过解答这些问题，学生可以深化对树和二叉树基本概念的理解。