模形式与双陪集分解：奇异值阈值算法在矩阵补全中的应用

"这篇文档是李文威所著的关于模形式初步的草稿，主要探讨了模形式的理论和应用，特别是在双陪集分解和矩阵完成中的奇异值阈值算法(svt)。" 本文档深入介绍了模形式的理论，这是一类在复平面上具有特定对称性质的复值函数，它们在数论、代数几何和表示理论等领域有广泛应用。作者首先阐述了基本定义，包括复平面上的变换、圆盘模型、线性分式变换的不动点，以及与同余子群、尖点和基本区域的概念。这些基础知识为后续的讨论提供了数学背景。 在第一章中，作者还简要触及了整权模形式，这是模形式的一个重要子类。此外，介绍了Dirichlet区域，这对于理解模形式的行为至关重要。第二章通过案例研究，如Γ函数、Riemann ζ函数、Eisenstein级数等，展示了模形式在经典分析中的应用。 第三章进一步讨论了模曲线的解析理论，包括复结构、尖点的处理、同余子群下的理论，以及Siegel定理和紧化的概念。这部分内容对于构建模形式的理论框架至关重要。间奏中提到了可公度性、算术子群和四元数，这些都是深入研究模形式时会遇到的数学工具。 第四章则转向模形式的维数公式及其应用。通过计算除子类、亏格公式和维数公式，揭示了模形式空间的结构。此外，讨论了亚纯模形式的存在性和奇偶权模形式的维数差异。 第五章聚焦于Hecke算子，这是一种在模形式理论中用于研究形式的线性算子。双陪集和卷积的概念被引入，Hecke算子与Hermite内积的关系被阐述，并讨论了模形式如何与Hecke算子相互作用。在SL(2, ℤ)情形下，通过Hall代数的视角给出了一种概览。 最后，第六章详细探讨了同余子群的Hecke算子，如菱形算子、𝑇𝑝算子和一般的𝑇𝑛算子。这里还涉及了旧形式与新形式的区分，以及Atkin-Lehner理论的初步介绍，这是模形式理论中的一个关键分支，与双陪集分解紧密相关。 这份文档提供了模形式的全面介绍，涵盖了从基础概念到高级主题的广泛内容，特别关注了Hecke算子在双陪集分解中的作用，这与svt算法在矩阵完成问题中的应用有关。对于想深入理解模形式理论和其在实际问题中的应用的读者来说，这是一份宝贵的资源。